Kezdőlap


Feladat:	856. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer Béla , Deutsch I. , Grób J. , Kertész F. , König D. , Messik G. , Póka Gy. , Riesz K. , Schmidl I. , Szmodics H. , Wohlstein S.
Füzet:	1901/április, 229 - 230. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Háromszög alapú hasábok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/október: 856. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A metszésidomot önönmagával párhuzamosan eltoljuk addig, míg egyik csúcsa az alap megfelelő csúcsával egybe nem esik.

Ha tehát az alaplap oldalának hosszát

x

-szel jelöljük, akkor:

\begin{matrix} \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} + \sqrt[]{b^{2} - x^{2}} = \sqrt[]{c^{2} - x^{2}} . \end{matrix}

Kétszeri négyzetreemeléssel a

\begin{matrix} 4 a^{2} b^{2} - 4 x^{2} (a^{2} + b^{2}) + 4 x^{4} = x^{4} - 2 x^{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2}) + {(a^{2} + b^{2} - c^{2})}^{2} \end{matrix}

egyenlethez jutunk. Ezt rendezzük, akkor:

\begin{matrix} 3 x^{4} - 2 x^{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = {(a^{2} + b^{2} - c^{2})}^{2} - 4 a^{2} b^{2} = {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} - 4 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}), \end{matrix}

a miből

3

-mal való szorzás és teljes négyzetre való kiegészítés után kapjuk, hogy:

\begin{matrix} {[3 x^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2})]}^{2} = 4 {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} - 12 (4 a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) . \end{matrix}

Tehát:

\begin{matrix} x^{2} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} \pm \frac{2}{3} \sqrt[]{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} - 3 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2})} . \end{matrix}

A gyökjel előtt csak a negatív jel veendő, mert

x

sem

a

-nál, sem

b

-nél, sem

c

-nél nagyobb nem lehet. Tehát:

\begin{matrix} x = \sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} - \frac{\sqrt[]{2}}{3} \sqrt[]{{(a^{2} - b^{2})}^{2} + {(b^{2} - c^{2})}^{2} + {(c^{2} - a^{2})}^{2}}} . \end{matrix}

(Bayer Béla, Losoncz.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Deutsch I., Grób J., Kertész F., König D., Messik G., Póka Gy., Riesz K., Schmidl I., Szmodics H., Wohlstein S.