Kezdőlap


Feladat:	855. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer B. , Demjén E. , Deutsch I. , Dózsa Zs. , Enyedi B. , Grób I. , Holzmann J. , Izsáky L. , Kamenitzky M. , Kertész Ferencz , König D. , Messik G. , Moskovits Zs. , Pilczer P. , Póka Gy. , Radó I. , Riesz K. , Riesz M. , Schmidl I. , Simon S. , Steiner D. , Steiner M. , Szávay Z. , Tóbiás L. , Vaska I. , Wohlstein S.
Füzet:	1901/március, 200. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/október: 855. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A O = R$ , az érintő kör sugara $r$ , középpontja $O', A O$ és $O B$ felező pontjai $C$ és $D$ , a meghatározandó háromszög alapja $2 a$ , egyik szára $b$ .
$1^{\circ}$ . $C O O'$ háromszögből:

\begin{matrix} {(\frac{R}{2} + r)}^{2} = {(R - r)}^{2} + {(\frac{R}{2})}^{2} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} r = \frac{R}{3} . \end{matrix}

2^{\circ}

O' E F ▵ \sim O' C D ▵

, tehát

\begin{matrix} \frac{R}{3} : 2 a = \frac{5 R}{6} : R \end{matrix}

s így

\begin{matrix} 2 a = \frac{2 R}{5} . \end{matrix}

Ha a háromszög magassága

m

, akkor

\begin{matrix} m = r + x \end{matrix}

és

\begin{matrix} x = \sqrt[]{{(\frac{R}{3})}^{2} - {(\frac{R}{5})}^{2}} = \frac{4 R}{5}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} m = \frac{9 R}{15} = \frac{3 R}{5} \end{matrix}

s végül

\begin{matrix} b = \sqrt[]{a^{2} + m^{2}} = \frac{R}{5} \sqrt[]{10} . \end{matrix}

(Kertész Ferencz, Szeged.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Bayer B. Demjén E., Deutsch I., Dózsa Zs. , Enyedi B., Grób I., Holzmann I., Izsáky L., Kamenitzky M., König D. , Messik G., Moskovits Zs., Pilczer P., Póka Gy., Radó I., Riesz K., Riesz M., Schmidl I., Simon S., Szávay Z., Steiner D., Steiner M., Tóbiás L., Vaska I., Wohlstein S.