Kezdőlap


Feladat:	852. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kamenitzky Miklós , Messik Géza
Füzet:	1901/január, 148 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/október: 852. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$I$ . megoldás. Legyen

\begin{matrix} (3 + x) = y, (2 + x) = z, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} y^{4} + z^{4} = 337 \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} y - z = 1 \end{matrix}

(2)

(2)

-őt negyedik hatványra emelve és

(1)

-ből kivonva lesz:

\begin{matrix} 4 y^{3} z - 6 y^{2} z^{2} + 4 y z^{3} = 336 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} y z (2 y^{2} - 3 y z + 2 z^{2}) = 168, \end{matrix}

\begin{matrix} 2 {(y - z)}^{2} = 2 y^{2} - 3 y z + 2 z^{2} - y z, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} 2 y^{2} - 3 y z + 2 z^{2} = 2 + y z, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} y z (2 + y z) = 168, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} {(y z)}_{1} = 12, {(y z)}_{2} = - 14, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (x + 3) (x + 2) = 12 \end{matrix}

\begin{matrix} (x + 3) (x + 2) = - 14, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} x_{1} = 1, x_{2} = - 6, x_{3} = - \frac{1}{2} (5 + i \sqrt[]{55}), x_{4} = - \frac{1}{2} (5 - i \sqrt[]{55}) . \end{matrix}

(Kamenitzky Miklós, Eperjes.)

I I

. megoldás. Legyen

x = y - \frac{5}{2}

; akkor az egyenletnek következő alakja lesz:

\begin{matrix} {(y + \frac{1}{2})}^{4} + {(y - \frac{1}{2})}^{4} = 337. \end{matrix}

A hatványozást elvégezve nyerjük

\begin{matrix} 2 y^{4} + 3 y^{2} - 336 \frac{7}{8} = 0; \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} y_{1} = \frac{7}{2}, y_{2} = - \frac{7}{2}, y_{3} = \frac{1}{2} i \sqrt[]{55}, y_{4} = - \frac{1}{2} i \sqrt[]{55} \end{matrix}

és

\begin{matrix} x_{1} = 1, x_{2} = - 6, x_{3} = - \frac{1}{2} (5 - i \sqrt[]{55}), x_{4} = - \frac{1}{2} (5 + i \sqrt[]{55}) \end{matrix}

(Messik Géza, Budapest.)

Megoldások száma: 41.

A feladat általános megoldása:

I

\begin{matrix} {(x + a)}^{4} + {(x + b)}^{4} = c \end{matrix}

\begin{matrix} x + a = y, x + b = z, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} y^{4} + z^{4} = c \end{matrix}

\begin{matrix} y - z = a - b, \end{matrix}

ezen két egyenletből megkapjuk

(y z)

értékét és

(y z)

értékéből

x

-nek négy gyökét nyerjük.

I I

. Legyen

x = y - \frac{a + b}{2}

, akkor

\begin{matrix} x + a = y + \frac{a - b}{2}, x + b = y - \frac{a - b}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} {(y + \frac{a - b}{2})}^{4} + {(y - \frac{a - b}{2})}^{4} = c, \end{matrix}

a hatványozást elvégezve nyerünk egy negyedfokú egyenletet, mely másodfokúra redukálható.