Kezdőlap


Feladat:	849. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szmodics Hildegárd
Füzet:	1900/december, 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Azonosságok, Nevezetes egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/október: 849. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tételünk csak akkor helyes ha $a, b, c$ nem egyenlők egymással, mert ha $a = b = c$ , akkor ${(a + b + c)}^{2} = 9 a^{2}$ és $3 (a b + b c + c a) = 9 a^{2}$ ; ha tehát pl. $a > b > c$ , akkor

\begin{matrix} {(a - b)}^{2} > 0, {(b - c)}^{2} > 0, {(a - c)}^{2} > 0, \end{matrix}

eme egyenlőtlenségeket összeadva:

\begin{matrix} 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 2 (a b + b c + c a) > 0 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} > a b + b c + a c . \end{matrix}

Eme egyenlőtlenség mindkét oldalához a

2 (a b + b c + a c)

kifejezést hozzáadva, ered:

\begin{matrix} {(a + b + c)}^{2} > 3 (a b + b c + a c) . \end{matrix}

(Szmodics Hildegárd, Kaposvár.)

Megoldások száma: 42.