Kezdőlap


Feladat:	848. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer Béla
Füzet:	1900/december, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/október: 848. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott kifejezések így is írhatók:
(1)

\begin{matrix} 3^{2 n + 1} + 2^{n + 2} = 3 \cdot 9^{n} + 4 \cdot 2^{n} = 3 \cdot 9^{n} + (7 - 3) \cdot 2^{n} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 7 \cdot 2^{n} + 3 \cdot (9^{n} - 2^{n}) . \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} 3^{2 n + 2} + 2^{6 n + 1} = 9 \cdot 9^{n} + 2 \cdot 64^{n} = 9 \cdot 9^{n} + (11 - 9) \cdot 64^{n} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 11 \cdot 64^{n} - 93 \cdot (64^{n} - 9^{n}) . \end{matrix}

Minthogy két egyenlő kitevőjű hatványmennyiség külömbsége osztható az alapok külömbségével, azért

9^{n} - 2^{n}

osztható

9 - 2 = 7

-tel és

64^{n} - 9^{n}

osztható

649 = 55 = 11 \cdot 5

-tel s így az első kifejezés osztható

7

-tel, a második pedig

11

-gyel.

(Bayer Béla, Losoncz.)

Megoldások száma: 44.