Kezdőlap


Feladat:	844. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer B. , Beck J. , Bogdán G. , Dessauer A. , Hirschfeld Gy. , Jánosi I. , Klein A. , Kőnig Dénes , Lázár L. , Messik G. , Papp F. , Perlesz D. , Picker G. , Pilczer P. , Pintér M. , Póka Gy. , Sasvári J. , Schlesinger A. , Schmidl I. , Simon J. , Sümegi Gy. , Szmodics H. , Tóbiás L. , Weisz P. , Wohlstein S.
Füzet:	1901/március, 196 - 197. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Terület, felszín, Trapézok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/szeptember: 844. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bocsássuk $O$ -ból $A C$ -re az $O E$ merőlegest, mely $A C$ -t felezi; legyen $B C$ és $O D$ metszési pontja $F$ .

1. Az

A O D C

trapéz magassága

E O = r sin x

, a párhuzamos oldalak:

A C = 2 r cos x

és

O D = r

. Így tehát a trapéz területe:

\begin{matrix} t_{1} = \frac{r^{2} sin x (1 + 2 cos x)}{2} = \frac{r^{2}}{2} (sin x + 2 sin x cos x) . \end{matrix}

B D C ▵

területe pedig

\begin{matrix} t_{2} = 2 (B O D ▵ - O B F ▵) = 2 (\frac{r^{2} sin x}{2} - \frac{O F \cdot F B}{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} O F = r cos x, B F = r sin x \end{matrix}

s így

\begin{matrix} t_{2} = r^{2} (sin x - sin x cos x) . \end{matrix}

A két terület összege:

\begin{matrix} t_{1} + t_{2} = \frac{3 r^{2} sin x}{2} = S^{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} sin x = \frac{2}{3} \frac{S^{2}}{r^{2}} . \end{matrix}

S^{2}

akkor maximum, ha

sin x = 1

, tehát ha

x = 90^{\circ}

.
2. Ha

t_{1} = 2 t_{2}

, akkor

\begin{matrix} \frac{r^{2}}{2} (sin x + 2 sin x cos x) = 2 r^{2} (sin x - sin x cos x), \end{matrix}

miből

\begin{matrix} 3 sin x = 6 sin x cos x, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} sin x (2 cos x - 1) = 0, \end{matrix}

miből vagy

\begin{matrix} sin x = 0 s akkor x = 0^{\circ}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 2 cos x - 1 = 0, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} cos x = \frac{1}{2}, x = 60^{\circ} . \end{matrix}

3. Ha

t_{2} = 2 t_{1}

, akkor

\begin{matrix} sin x cos x = 0, \end{matrix}

miből vagy

\begin{matrix} sin x = 0 s így x = 0^{\circ}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} cos x = 0 s így x = 90^{\circ} . \end{matrix}

(König Dénes, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Bayer B., Beck J., Bogdán G., Dessauer A., Hirschfeld Gy., Jánosi I., Klein A., Lázár L., Messik G., Papp F., Perlesz D., Picker G., Pilczer P., Pintér M., Póka Gy., Sasvári J., Schlesinger A., Schmidl I., Simon J., Sümegi Gy., Szmodics H., Tóbiás L., Weisz P., Wohlstein S.