Kezdőlap


Feladat:	843. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Póka Gyula
Füzet:	1901/március, 195. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Poliéderek hasonlósága, Térfogat, Szabályos tetraéder, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/szeptember: 843. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az alap köré írható kör sugara $r$ , a tetraëder egyik éle $a$ , akkor $a = r \sqrt[]{3}$ ; a tetraeder magassága pedig

\begin{matrix} m = \sqrt[]{a^{2} - r^{2}} = r \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Ismeretes, hogy a hasonló gúlák köbtartalmai úgy aránylanak, mint a megfelelő magasságok köbei, vagy mint az alapok köré írható körök sugarainak köbei, miért is:

\begin{matrix} 2 : 1 = r^{3} : r_{1}^{3} \end{matrix}

(1)

r_{1}

az elvágott gúla alapja köré írható kör sugara. (l)-ből

\begin{matrix} r_{1} = r \sqrt[3]{\frac{1}{2}} . \end{matrix}

\begin{matrix} r_{1} : r = (m - x) : m, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{m (r - r')}{r} = r (\sqrt[]{2} - \sqrt[6]{2}) . \end{matrix}

(Póka Gyula, Losoncz.)

Megoldások száma: 37