Feladat:	841. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyó Ernő
Füzet:	1901/szeptember, 25 - 26. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Beírt háromszög, Beírt alakzatok, Terület, felszín, Trapézok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/szeptember: 841. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle ABDC=\frac{AB+CD}{2}\cdot GH\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle ABEF=\frac{AB+EF}{2}\cdot IG\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle AB=r\mathrm{,}CD=r\sqrt[]{3}\mathrm{,}}\end{array}$     $\begin{array}{c}{\displaystyle GH=m_2-m_1=\frac{r}{2}\sqrt[]{3}-\frac{r}{2}=\frac{r}{2}\left(\sqrt[]{3}-1\right)\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle GI=m_2+m_1=\frac{r}{2}\sqrt[]{3}+\frac{r}{2}=\frac{r}{2}\left(\sqrt[]{3}+1\right)\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle ABDC=t=\frac{r\left(\sqrt[]{3}+1\right)}{2}\cdot \frac{r}{2}\left(\sqrt[]{3}-1\right)=\frac{r^2}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle ABEF=T=\frac{r\left(\sqrt[]{3}+1\right)}{2}\cdot \frac{r}{2}\left(\sqrt[]{3}+1\right)=\frac{r^2}{4}{\left(\sqrt[]{3}+1\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$   (Baranyó Ernő, Szolnok.)   Az $ABDC$ körszelet területe $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{r^2\pi }{3}-\frac{r^2}{4}\sqrt[]{3}-\left(\frac{r^2\pi }{6}-\frac{r^2}{4}\sqrt[]{3}\right)=\frac{r^2\pi }{6}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $ABFE$ körszelet területét $T$-t megkapjuk, ha az egész kör területéből az $AMB$ és $ENF$ körszeletek területét levonjuk. $\begin{array}{c}{\displaystyle T=r^2\pi -\left(\frac{r^2\pi }{3}-\frac{r^2}{4}\sqrt[]{3}\right)-\left(\frac{r^2\pi }{6}-\frac{r^2}{4}\sqrt[]{3}\right)=\frac{r^2\pi }{2}+\frac{r^2}{2}\sqrt[]{3}=\frac{r^2}{2}\left(\pi +\sqrt[]{3}\right)\mathrm{.}}\end{array}$   Megoldások száma: 56.