Kezdőlap


Feladat:	836. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Póka Gyula
Füzet:	1900/november, 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/szeptember: 836. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első egyenlet még így is írható:

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = a x y \end{matrix}

(3)

(2)-nek mindkét oldalát köbre emelve s belőle (3)-at levonva, ered

\begin{matrix} 3 x y (x + y) = b^{3} - a x y \end{matrix}

(4)

(2)-t figyelembe véve (4)-ből kapjuk:

\begin{matrix} x y = \frac{b^{3}}{a + 3 b} \end{matrix}

(5)

(2) és (5) alapján

x

és

y

gyökei ennek a másodfokú egyenletnek:

\begin{matrix} z^{2} - b z + \frac{b^{3}}{a + 3 b} = 0. \end{matrix}

Eme egyenletet megoldva:

\begin{matrix} z_{1} = x_{1} = y_{2} = \frac{b}{2} (1 + \sqrt[]{\frac{a - b}{a + 3 b}}) \end{matrix}

\begin{matrix} z_{2} = x_{2} = y_{1} = \frac{b}{2} (1 - \sqrt[]{\frac{a - b}{a + 3 b}}) . \end{matrix}

(Póka Gyula, Losoncz.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Adler M., Baranyó E., Bartók I., Bayer B., Beck P., Bogdán G., Buxbaum K., Dessauer A., Deutsch I., Engel D., Enyedi B., Goldstein A., Grób I., Gusztáv B., Hendel J., Hermann S., Hirschfeld Gy., Holzer S., Izsáky L., Jánosy I., Kalmár S., Kamenitzky M., Kertész F., Klein A., Knales N., Korn Á., König D., Lamparter J., Lázár L., Löwy J., Mayet J., Messik G., Moskovits Zs., Papp F., Perlesz D., Pick A., Picker G., Pintér M., Papper F., Riesz K., Riesz M., Sasvári J., Schlesinger A., Schmidl I., Spitzer V., Simon S., Solymos K., Stromfeld F., Sümegi Gy., Szalonnay A., Szántó H., Szmodics H., Tóbiás J. L., Vaska L., Weisz P., Winter F., Wohlstein S.