Kezdőlap


Feladat:	834. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer B. , Bogdán G. , Hirschfeld Gy. , Kertész F. , Klein A. , König D. , Lázár L. , Lukhaub Gy. , Messik G. , Pilczer Pál , Póka Gy. , Sasvári J. , Scharff J. , Spitzer V. , Steiner M. , Sümegi Gy. , Winter F. , Wohlstein S.
Füzet:	1901/február, 176. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Beírt alakzatok, Térfogat, Egyenes körhengerek, Egyenes körkúpok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/június: 834. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlő oldalú kúp tengelymetszete egyenlő oldalú háromszög, az egyenlő oldalú hengeré pedig négyzet. Legyen $a$ a kúp oldalvonala, $x$ a henger magassága, $m$ a kúp magassága. Hasonló háromszögekből:

\begin{matrix} a : x = m : m - x, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{a m}{a + m} \end{matrix}

s minthogy

\begin{matrix} m = \frac{a}{2} \sqrt[]{3}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} x = \frac{a \sqrt[]{3}}{2 + \sqrt[]{3}} . \end{matrix}

v_{k}

a kúp köbtartalma,

v_{h}

a hengeré, akkor:

\begin{matrix} v_{k} = \frac{1}{3} \frac{a^{2} π}{4} \cdot \frac{a}{2} \sqrt[]{3} = \frac{a^{3} π}{24} \sqrt[]{3} \end{matrix}

\begin{matrix} v_{h} = \frac{x^{2}}{4} π \cdot x = \frac{x^{3} π}{4} = \frac{3 a^{3} π}{4 {(2 + \sqrt[]{3})}^{3}} \sqrt[]{3} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} v_{k} : v_{h} = \frac{a^{3} π}{24} \sqrt[]{3} : \frac{3 a^{3} π}{4 {(2 + \sqrt[]{3})}^{3}} \sqrt[]{3} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} v_{k} : v_{h} = {(2 + \sqrt[]{3})}^{3} : 18 \end{matrix}

\begin{matrix} v_{k} : v_{h} = (26 + 15 \sqrt[]{3}) : 18. \end{matrix}

(Pilczer Pál, Kaposvár.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Bayer B., Bogdán G., Hirschfeld Gy., Kertész F., Klein A., König D., Lázár L., Lukhaub Gy., Messik G., Póka Gy., Sasvári J., Scharff J., Spitzer V., Steiner M., Sümegi Gy., Winter F., Wohlstein S.