Kezdőlap


Feladat:	832. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Bayer Béla , Kertész F. , König D. , Lázár L. , Lukhaub Gy. , Messik G. , Sasvári J. , Tóbiás J. L. , Wohlstein S.
Füzet:	1901/október, 47 - 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Terület, felszín, Koszinusztétel alkalmazása, Szabályos sokszögek geometriája, Alakzatok köré írt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/június: 832. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $P A_{1} A_{2}$ háromszög területét $t_{1}$ -gyel, a $P A_{2} A_{3} Δ$ -ét $t_{2}$ -vel, $P A_{n - 1} A_{n} Δ$ -ét $t_{n - 1}$ -gyel, $P A_{n} A_{1} Δ$ -ét $t_{n}$ -nel, hol e területek, minthogy a $P$ -nél fekvő szögek $α$ -val egyenlők,

\begin{matrix} t_{1} = \frac{1}{2} \bar{P A_{1}} \cdot \bar{P A_{2}} sin α, t_{2} = \frac{1}{2} \bar{P A_{2}} \cdot \bar{P A_{3}} sin α, \end{matrix}

\begin{matrix} t_{n - 1} = \frac{1}{2} \bar{P A_{n - 1}} \cdot \bar{P A_{n}} sin α és t_{n} = \frac{1}{2} \bar{P A_{n}} \cdot \bar{P A_{1}} sin α . \end{matrix}

Carnot tétele alapján:

P A_{1} A_{2} Δ

-ből:

\begin{matrix} {\bar{P A_{1}}}^{2} + \bar{P A_{2}^{2}} = {\bar{A_{1} A_{2}}}^{2} + 2 \bar{P A_{1}} \bar{P A_{2}} cos α \end{matrix}

P A_{2} A_{3} Δ

-ből:

\begin{matrix} {\bar{P A_{2}}}^{2} + {\bar{P A_{3}}}^{2} = {\bar{A_{2} A_{3}}}^{2} + 2 \bar{P A_{2}} \bar{P A_{3}} cos α \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

P A_{n - 1} A_{n} Δ

-ből:

\begin{matrix} {\bar{P A_{n - 1}}}^{2} + {\bar{P A_{n}}}^{2} = {\bar{A_{n - 1} A_{n}}}^{2} + 2 \bar{P A_{n - 1}} \bar{P A_{n}} cos α . \end{matrix}

P A_{n} A_{1} Δ

-ből:

\begin{matrix} {\bar{P A_{n}}}^{2} + {\bar{P A_{1}}}^{2} = {\bar{A_{n} A_{1}}}^{2} - 2 \bar{P A_{n} P A_{1}} cos α . \end{matrix}

Eme egyenlőségeket összeadva :

\begin{matrix} 2 ({\bar{P A_{1}}}^{2} + {\bar{P A_{2}}}^{2} + ... + {\bar{P A_{n}}}^{2}) = n {\bar{A_{1} A_{2}}}^{2} + 2 cos α (\bar{P A_{1}} \cdot \bar{P A_{2}} + \bar{P A_{2}} \cdot \bar{P A_{3}} + ... + {\bar{P A}}_{n - 1} {\bar{P A}}_{n} - {\bar{P A}}_{n} {\bar{P A}}_{1}) \end{matrix}

\begin{matrix} 2 ({\bar{P A_{1}}}^{2} + {\bar{P A_{2}}}^{2} + ... + {\bar{P A_{n}}}^{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} n {\bar{A_{1} A_{2}}}^{2} + + \frac{4 cos α}{sin α} (\frac{1}{2} \bar{P A_{1}} \bar{P A_{2}} sin α + \frac{1}{2} \bar{P A_{2}} \bar{P A_{3}} sin α + ... + \frac{1}{2} {\bar{P A}}_{n - 1} \bar{P A_{n}} sin α - \frac{1}{2} {\bar{P A}}_{n} \bar{P A_{1}} sin α) \end{matrix}

\begin{matrix} 2 ({\bar{P A_{1}}}^{2} + {\bar{P A_{2}}}^{2} + ... + {\bar{P A_{n}}}^{2}) = n {\bar{A_{1} A_{2}}}^{2} + 4 ctg α (t_{1} + t_{2} + ... + t_{n - 1} - t_{n}) . \end{matrix}

t_{1} + t_{2} + ... + t_{n - 1} - t_{n} = T_{n}

a szabályos sokszög területével. Tehát

\begin{matrix} {\bar{P A_{1}}}^{2} + {\bar{P A_{2}}}^{2} + ... + {\bar{P A_{n}}}^{2} = \frac{1}{2} (n {\bar{A_{1} A_{2}}}^{2} + 4 ctg α T_{n}) = const. \end{matrix}

(Bayer Béla, Losoncz.)

Jegyzet. Ha a köré írható kör sugara

r

, a sokszög egy oldala

\begin{matrix} A_{1} A_{2} = 2 r sin α \end{matrix}

és területe

\begin{matrix} T_{n} = n \frac{{\bar{A_{1} A_{2}}}^{2}}{4 tg α} = n r^{2} sin^{2} α ctg α és 4 ctg α T_{n} = 4 n r^{2} cos^{2} α, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} {\bar{P A_{1}}}^{2} + {\bar{P A_{2}}}^{2} + ... + {\bar{P A_{n}}}^{2} = \frac{1}{2} [4 n r^{2} (sin^{2} α + cos^{2} α)] = 2 n r^{2} . \end{matrix}

n

páros, a bizonyítás egyszerűbb. Ugyanis megrajzolva

P

diametrál pontját,

P_{1}

-et

\begin{matrix} {\bar{P A_{1}}}^{2} + {\bar{P_{1} A_{1}}}^{2} = 4 r^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{P A_{2}}}^{2} + {\bar{P_{1} A_{2}}}^{2} = 4 r^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} ({\bar{P A_{1}}}^{2} + {\bar{P A_{2}}}^{2} + ... {\bar{P A_{n}}}^{2}) + ({\bar{P_{1} A_{1}}}^{2} + {\bar{P_{1} A_{2}}}^{2} + ... {\bar{P_{1} A_{n}}}^{2}) = 4 n r^{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} P A_{1} = P_{1} A_{\frac{n}{2} + 1}, P A_{2} = P_{1} A_{\frac{n}{2} + 2}, ..., P A_{n} = P_{1} A_{\frac{n}{2}} \end{matrix}

és így a bal oldalon álló két összeadandó egyenlő lévén

\begin{matrix} {\bar{P A_{1}}}^{2} + {\bar{P A_{2}}}^{2} + ... {\bar{P A_{n}}}^{2} = 2 n r^{2} . \end{matrix}

A feladatot még megoldották: Bartók I., Kertész F. , König D., Lázár L., Messik G., Lukhaub Gy., Sasvári J., Tóbiás L., Wohlstein S.