Kezdőlap


Feladat:	829. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer B. , Bogdán G. , Demjén E. , Hirschfeld Gy. , Holzmann M. , Klein A. , König D. , Lázár L , Lukhaub Gy. , Messik G. , Pilczer P. , Póka Gy. , Sasvári J. , Scharff J. , Schlesinger A. , Spitzer V. , Tóbiás L. , Wohlstein S.
Füzet:	1900/december, 127 - 128. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Beírt kör, Számtani sorozat, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/június: 829. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1.) Minthogy a háromszög oldalai számtani haladványt alkotnak, azért:

\begin{matrix} a = b + d, b = c + d \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a = c + 2 d . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3}{2} (c + d), s - b = \frac{1}{2} (c + d) . \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)}}, tg \frac{γ}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b)}{s (s - c)}}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{γ}{2} = \frac{s - b}{s} = \frac{\frac{1}{2} (c + d)}{\frac{3}{2} (c + d)} = \frac{1}{3} . \end{matrix}

(2.) Ismeretes, hogy

\begin{matrix} r = (s - a) tg \frac{α}{2} = (s - c) tg \frac{γ}{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} s - c = \frac{r}{tg \frac{γ}{2}}, s - a = \frac{r}{tg \frac{α}{2}}, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a - c = 2 \cdot d = r (\frac{1}{tg \frac{γ}{2}} - \frac{1}{tg \frac{α}{2}}) = r \frac{tg \frac{α}{2} - tg \frac{γ}{2}}{tg \frac{α}{2} tg \frac{γ}{2}} \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} r = \frac{2 d tg \frac{α}{2} tg \frac{γ}{2}}{tg \frac{α}{2} - tg \frac{γ}{2}} = \frac{2 d}{3 (tg \frac{α}{2} - tg \frac{γ}{2})} . \end{matrix}

A feladatot megoldották: Aczél F., Bartók I., Bayer B, Bogdán G., Demjén E., Hirschfeld Gy., Holzmann J., Klein A., König D. , Lázár L., Messik G., Lukhaub Gy., Pilczer P., Póka Gy., Sasvári J., Scharff J., Schlesinger A., Spitzer V., Tóbiás L., Wohlstein S.