Kezdőlap


Feladat:	828. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél Ferencz , Bartók I. , Bayer B. , Bogdán G. , Hirschfeld Gy. , Holzmann J. , Kertész F. , König D. , Lázár L. , Messik G. , Pilczer P. , Póka Gy. , Sasvári J. , Scharff J. , Schlesinger A. , Spitzer V. , Tóbiás J. L. , Wohlstein S.
Füzet:	1900/november, 74 - 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egész számok összege, Négyzetszámok összege, Köbszámok összege, Hatványösszeg, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/június: 828. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A természetes számok második, harmadik és negyedik hatványainak összege (K. M. L. VIII. 42.):

\begin{matrix} 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ... + x^{2} = \frac{x (x + 1) (2 x + 1)}{6}, \end{matrix}

\begin{matrix} 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} ... + x^{3} = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{4}, \end{matrix}

\begin{matrix} 1^{4} + 2^{4} + 3^{4} ... + x^{4} = \frac{x (x + 1) (2 x + 1) (3 x^{2} + 3 x - 1)}{30} . \end{matrix}

Így tehát feladatunk értelmében :

\begin{matrix} \frac{x (x + 1) (2 x + 1) (3 x^{2} + 3 x - 1)}{30} = \frac{x (x + 1)}{2} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1)}{6} + \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{4}, \end{matrix}

a miből:

\begin{matrix} 4 x^{3} + x^{2} - 11 x - 14 = 0. \end{matrix}

Ezen egyenletnek egyik gyöke

2

, ennélfogva

\begin{matrix} 4 x^{3} + x^{2} - 11 x - 14 = (x - 2) (4 x^{2} + 9 x + 7) = 0. \end{matrix}

Minthogy

4 x^{2} + 9 x + 7

egyenletnek nincsen reális gyöke, azért a feladatnak csak

x = 2

felel meg.

(Aczél Ferencz, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Bayer B, Bogdán G., Hirschfeld Gy., Holzmann J., Kertész F., König D., Lázár L., Messik G., Pilczer P., Póka Gy., Sasvári J., Scharff J., Schlesinger A., Spitzer V., Tóbiás J. L., Wohlstein S.