Kezdőlap


Feladat:	819. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bartók I. , Bayer B. , Filkorn Jenő , Kertész F. , Kőnig Dénes , Krausz B. , Lázár L. , Lukhaub Gy. , Póka Gy. , Riesz M. , Scharff J. , Spitzer V. , Sümegi Gy. , Weisz A. , Wohlstein S.
Füzet:	1901/január, 151 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középvonal, Szögfelező egyenes, Paralelogrammák, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/április: 819. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$I .$ megoldás. Rajzoljunk $C$ -ből és $D$ -ből az $X O Y$ szögfelezőjére merőlegeseket, melyek az $O X$ szárt $A'$ és $B'$ pontokban metszik.

Legyenek és

B' D

és

A' C

középpontjai

N'

és

M'

, továbbá

B D

és

C A

középpontjai

N

és

M

M M'

A' A C, N N'

pedig a

B' B D

háromszög két-két oldalának középpontjait kapcsolja össze s így

\begin{matrix} M M' ∥ N N' ∥ O X . \end{matrix}

Minthogy pedig

A B = C D = A' B'

, azért

A' B' = A B

és

A A' = B B'

s így

\begin{matrix} M M' = N N' = \frac{1}{2} A A' . \end{matrix}

Ennélfogva

M M' N N'

egyenközény s így

\begin{matrix} N M ∥ N M \end{matrix}

(König Dénes, Budapest.)

I I .

megoldás. Ha az

E

és

F

felezési pontokon áthaladó egyenes

A B

-t

G

-ben,

C D

-t

H

-ban metszi, akkor a sinustétel alapján;

\begin{matrix} G A sin G = \frac{1}{2} A C sin E = H C sin H \end{matrix}

és

\begin{matrix} (G A + A B) sin G = \frac{1}{2} B D sin F = (H C + C D) sin H \end{matrix}

ennélfogva

\begin{matrix} A B sin G = C D sin H \end{matrix}

\begin{matrix} A B = C D \end{matrix}

s így

\begin{matrix} G ∢ = H ∢ = \frac{1}{2} X O Y ∢ . \end{matrix}

(Filkorn Jenő, Nyitra.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Bayer B., Kertész F., Krausz B., Lázár L., Lukhaub Gy., Póka Gy., Riesz M., Scharff J., Spitzer V., Sümegi Gy., Weisz A., Wohlstein S.