Kezdőlap


Feladat:	817. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél F. , Bartók I. , Bayer Béla , Dányi I. , Filkorn J. , Holzmann M. , Kertész F. , König D. , Lázár L. , Lukhaub Gy. , Póka Gy. , Scharff J. , Schlesinger A. , Sümegi Gy. , Szmodics H. , Téglás G. , Weisz A. , Wohlstein S.
Füzet:	1900/október, 48 - 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/április: 817. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Föltételi egyenletünk így írható:

\begin{matrix} \frac{{(a x^{2} + b y^{2} + c z^{2})}^{2}}{4} = {(d y z + c z x + f x y)}^{2} . \end{matrix}

Ha ezen egyenletből a

\begin{matrix} b c y^{2} z^{2} + c a z^{2} x^{2} + a b x^{2} y^{2} \equiv b c y^{2} z^{2} + c a z^{2} x^{2} + a b x^{2} y^{2} \end{matrix}

azonos egyenletet kivonjuk, akkor kapjuk, hogy

\begin{matrix} {(d y z + e z x + f x y)}^{2} - b c y^{2} z^{2} - c a z^{2} x^{2} - a b x^{2} y^{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{{(a x^{2} + b y^{2} + c z^{2})}^{2}}{4} - b c y^{2} z^{2} - c a z^{2} x^{2} - a b x^{2} y^{2} \equiv \end{matrix}

\begin{matrix} \equiv \frac{1}{4} {{(a x^{2} + b y^{2} + c z^{2})}^{2} - 4 (b c y^{2} z^{2} + c a z^{2} x^{2} + a b x^{2} y^{2})} \equiv \end{matrix}

\begin{matrix} \equiv \frac{1}{4} {a^{2} x^{4} + b^{2} y^{4} + c^{2} z^{4} - 2 (b c y^{2} z^{2} + c a z^{2} x^{2} + a b x^{2} y^{2})} \equiv \end{matrix}

\begin{matrix} \equiv \frac{1}{4} {{(a x^{2} - b y^{2} + c z^{2})}^{2} - 4 b c y^{2} z^{2}} \equiv \end{matrix}

\begin{matrix} \equiv \frac{1}{4} {(a x^{2} - b y^{2} - c z^{2}) - 2 y z \sqrt[]{b c}} {(a x^{2} - b y^{2} - c z^{2}) + 2 y z \sqrt[]{b c}} \equiv \end{matrix}

\begin{matrix} \equiv \frac{1}{4} {a x^{2} - {(y \sqrt[]{b} + z \sqrt[]{c})}^{2}} {a x^{2} - {(y \sqrt[]{b} - z \sqrt[]{c})}^{2}} \equiv \end{matrix}

\begin{matrix} \equiv \frac{1}{4} (x \sqrt[]{a} + y \sqrt[]{b} + z \sqrt[]{c}) (x \sqrt[]{a} - y \sqrt[]{b} - z \sqrt[]{c}) (x \sqrt[]{a} + y \sqrt[]{b} - z \sqrt[]{c}) (x \sqrt[]{a} - y \sqrt[]{b} + z \sqrt[]{c}) . \end{matrix}

(Bayer Béla, Losoncz.)

A feladatot még megoldották: Aczél F., Bartók I., Dányi I., Filkorn J., Holzmann M., Kertész F., König D., Lázár L., Lukhaub Gy., Póka Gy., Scharff J., Schlesinger A., Sümegi Gy., Szmodics H., Téglás G., Weisz A., Wohlstein S.