Feladat: 814. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Czank Károly ,  Filkorn J. ,  Krisztián Gy. ,  König D. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa Gy. ,  Póka Gy. ,  Scharff J. ,  Selényi M. 
Füzet: 1901/június, 248 - 249. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Simson-egyenes, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/március: 814. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat megoldottnak tekinthető, ha kimutatjuk, hogy a négy Simson-féle egyenes egy és ugyanazon körnek átmérője. Legyen ABCD a kérdéses húrnégyszög és a,b,c,d a csúcsoknak az átlókon levő vetületei, illetőleg a négy Simson-féle egyenes egyes pontjai.
Minthogy

AdDΔ∼BcCΔ
és
EdDΔ∼EcCΔ
azért
Ad:Bc=Dd:Cc,
de
Bd:Cd=dE:cE,
tehát
Ad:Bc=Ed:Ec,
a miből következik, hogy
dc∥AB.
Hasonlóképen ki lehet mutatni, hogy
ab∥DC,cb∥ADésad∥BC.

 
 

Ezekből következik, hogy a megfelelő szögek egyenlők; vagyis
cda∢=ADC∢...stb.(I.)
vagyis abcd szintén húrnégyszög.
Legyen a C ponthoz tartozó cK Simson-féle egyenes a BD-re ⊥Aa egyenesek metszéspontja M. Akkor, minthogy CcKD pontok szintén egy körön feküsznek (mert CKD∢=DcC∢=90∘):
cMa∢=90∘Mca∢=90∘-KCD∢=KDC∢.
Az (I)-t tekintetbe véve:
cMa∢=cda∢.
Vagyis cdMa és b pontok egy kör kerületén vannak. Minthogy pedig caM∢=90∘, azért cM ezen körnek átmérője, tehát a cMK Simson-féle egyenes az abcd pontokon átmenő kör középpontján halad keresztül.
Hasonlóképen lehet kimutatni, hogy az A,B,D csúcsokhoz tartozó Simson-féle egyenesek mind eme körnek átmérői, tehát egy pontban, ezen körnek középpontjában találkoznak.
 

(Czank Károly, Déva.)
 

A feladatot még megoldották: Filkorn J., König D., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Póka Gy., Scharff J., Selényi M.