Kezdőlap


Feladat:	802. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bayer B. , Filkorn J. , Kerekes T. , Krausz B. , Krisztián György , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Póka Gy. , Scharff J.
Füzet:	1900/december, 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Köréírt alakzatok, Hossz, kerület, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1900/február: 802. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A B C$ a megadott háromszög. Rajzoljunk $A B$ és $A C$ fölé félköröket, melyeknek középpontjai $C_{1}$ és $B_{1}$ . Állítsunk $A C$ -re $A$ -ban merőlegest, mérjük rá $A B$ -t egészen $O$ -ig és rajzoljunk $O$ -ból $O A$ sugárral kört.

Most szerkesszünk

O C_{1}

mint átfogó fölé oly derékszögű háromszöget, melynek

O N

befogója egyenlő a keresett négyszög kerületének negyedrészével. Az

A

csúcson át

O N

-nel párhuzamosan rajzolt egyenes a

C_{1}

kört

D

-ben, a keresett derékszögű négyszög egyik csúcsában s az

O

kört

K

-ban metszi. Az

A

pontban

A D

-re emelt merőleges a

B_{1}

kört a négyszög egy másik csúcsában

E

-ben metszi. A negyedik csúcs a

D B

és

E C

egyenesek

F

metszéspontja.

Bizonyítás. Ha az

A O

sugár meghosszabbítása a kört

M

-ben metszi, akkor

A C E ▵ ≅ A M K ▵

, mert

A C = A M

A K M ∢ = A E C = 90^{\circ}

és

K A M ∢ = E A C ∢

. Ennélfogva

A E = A K

. Minthogy pedig

A D + A E = D K = 2 N O

és

A D B ∢ = 90^{\circ}

, azért

A D F E

a keresett négyszög.

(Krisztián György, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Bayer B, Filkorn J., Kerekes T., Krausz B., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Póka Gy., Scharff J.