Feladat: 793. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Faith F. ,  Filkorn Jenő ,  Kerekes T. ,  Krausz B. ,  Krisztián Gy. ,  König D. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa Gy. ,  Scharff J. 
Füzet: 1900/november, 78 - 79. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt alakzatok, Geometriai egyenlőtlenségek, Egyenes körhengerek, Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1900/január: 793. matematika feladat

A gömbbe írható hengerek közül határozzuk meg azt, melynek összes felülete a lehető legnagyobb.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a gömb sugara R, a henger alapjának sugara r, magassága m, akkor a henger összes fölülete:

F=2rπ(r+m)
de
m=2R2-r2(1)
s így
F=2rπ(r+2R2-r2)
vagy
F2rπ-r=2R2-r2
F24r2π2-Fπ+r2=4R2-4r2
rendezve:
r4-25(F2π+2R2)r2=-F220π2
miből
r=15(F2π+2R2)±125(F2π+2R2)2-F220π2(2)
r-nek valós értéke van, ha
15(F2π+2R2)2F24π2
vagyis ha
FR2π(1+5)
s így a fölület maximuma:
F=R2π(1+5).
F-nek eme értékét (2)-be és (1)-be téve, kapjuk:
r=R5+510ésm=2R5-510.
 

(Filkorn Jenő, Nyitra.)
 

A feladatot még megoldották: Faith F., Kerekes T., König D., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Scharff J.