Kezdőlap


Feladat:	782. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer B. , Czank K. , Filkorn J. , Kerekes T. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Perl Gy. , Póka Gy. , Sasvári G. , Selényi M. , Smodics Kázmér
Füzet:	1901/február, 174 - 175. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Síkgeometriai szerkesztések, Körérintési szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/december: 782. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első egyenlet olyan körnek az egyenlete, melynek $O$ középpontja a coordináta rendszer középpontja, sugara pedig $15$ . A második egyenlet így is írható:

\begin{matrix} {(x - 15)}^{2} + y^{2} = 6^{2} . \end{matrix}

(1)

Látjuk, hogy eme egyenlet olyan körnek egyenlete, melynek sugara

6

O_{1}

középpontjának

O

-tól való távolsága pedig

15

. Minthogy a körök egymást metszik, azért csak két közös érintő van. Legyenek az érintési pontok

M

és

M_{1}

illetőleg

m

és

m_{1}

, az érintők metszési pontja

A

; az

A O M ∢ = A O_{1} m ∢ = α

, akkor

\begin{matrix} (O O_{1} + O_{1} A) : O_{1} A = O M : O_{1} m \end{matrix}

miből, az értékek betevése után

\begin{matrix} O_{1} A = 10. \end{matrix}

Az érintő egyenlete ilyen alakú

\begin{matrix} x cos α + y sin α = O M, \end{matrix}

\begin{matrix} cos α = \frac{O M}{O A} = \frac{3}{5} és sin α = \frac{M A}{O A} = \frac{4}{5} \end{matrix}

s így az érintő egyenlete

\begin{matrix} 3 x + 4 y = 75. \end{matrix}

(2)

A másik érintő egyenlete

\begin{matrix} 3 x - 4 y = 75. \end{matrix}

(3)

Minthogy az érintési pontok kielégítik úgy a kör, mint az érintő egyenletét, azért

M

pont coordinatái

x^{2} + y^{2} = 225

és a (2) egyenlet gyökei

(9, 12)

s így

M_{1}

pontéi

(9, - 12)

;

m

pont coordinatái az (1) és (2) egyenlet gyökei

(18 \frac{3}{5}, 4 \frac{4}{5})

s így

m_{1}

pontéi

(18 \frac{3}{5}, - 4 \frac{4}{5})

(Smodics Kázmér, Veszprém.)

A feladatot még megoldották: Bayer B., Czank K., Filkorn J., Kerekes T., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Perl Gy., Póka Gy., Sasvári G., Selényi M.