Kezdőlap


Feladat:	776. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Krausz B. , Krisztián György , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Sasvári G. , Scharff J.
Füzet:	1900/október, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek hasonlósága, Feuerbach-kör, Trapézok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/december: 776. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Ha a trapéz oldalainak felezőpontjai rendre $E, F, G$ és $H$ , az $A C$ és $B D$ átlók felezőpontjai $K$ és $L$ , akkor az $E F K, F G L, G H K$ és $H E L$ háromszögek körül rajzolható $O_{1}, O_{2}, O_{3}$ és $O_{4}$ körök az említett háromszögek Feuerbach-féle körei.
Mondjuk, hogy az $O_{2}$ és $O_{3}$ körök $G$ ponton kívül még $P$ pontban metszik egymást.

\begin{matrix} H P L ∢ = 360^{\circ} - H P G ∢ - G P L ∢ = \end{matrix}

\begin{matrix} = 360^{\circ} - H K G ∢ - (180^{\circ} - G F L ∢) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 180^{\circ} - (H D G ∢ - G D L ∢) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 180^{\circ} - H D L ∢ = 180^{\circ} - H E L ∢, \end{matrix}

vagyis

E L P H

húrnégyszög s így az

E L H

háromszög körül rajzolható kör

P

ponton is keresztül megy. Ugyancsak így bizonyítható, hogy az

O_{1}

kör is keresztül megy

P

ponton.

2^{\circ}

. Kössük össze

P

-t

H, E

és

F

pontokkal:

\begin{matrix} O_{2} O_{3} O_{4} ∢ = 180^{\circ} - G P H ∢ = 180^{\circ} - G K H ∢ = 180^{\circ} - H D G ∢ = A ∢, \end{matrix}

\begin{matrix} O_{1} O_{2} O_{3} ∢ = 180^{\circ} - F P G ∢ = B ∢, \end{matrix}

\begin{matrix} O_{2} O_{1} O_{4} ∢ = 180^{\circ} - E P F ∢ = C ∢, \end{matrix}

és

\begin{matrix} O_{1} O_{4} O_{3} ∢ = 180^{\circ} - E P H ∢ = D ∢ . \end{matrix}

Minthogy továbbá

O_{2} O_{3} ∥ O_{1} O_{4}

, azért

O_{1} O_{4}

és

O_{2} O_{3}

aránya egyenlő

H F

-re való vetületeiknek arányával, vagyis

\begin{matrix} O_{1} O_{4} : O_{2} O_{3} = C D : A B, \end{matrix}

tehát tényleg

\begin{matrix} O_{1} O_{2} O_{3} O_{4} \sim A B C D . \end{matrix}

(Krisztián György, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Krausz B., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Sasvári G., Scharff J.