Feladat: 774. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Krausz B. ,  Krisztián György ,  König D. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa Gy. ,  Sasvári G. ,  Selényi M. 
Füzet: 1900/október, 53. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1899/december: 774. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen AC felezőpontja E, BD-é F, az O és O1 körök közös húrjának felezőpontja M. PQAD-t G-ben és OO1S-ben metszi.
 

 

Minthogy az AC és BD húrokon nyugvó kerületi szögek egyenlők, azért
AOC▵∼BO1D▵.
tehát
OA:O1B=OE:O1F=AC:BD.
Továbbá
SFSF+EF=O1FOE=BDAC,
miből
SF=BD⋅EFAC-BD=const.,
s így S pont fix, mely a változó körpároknak állandóan a külső hasonlósági pontja.
Továbbá
AG⋅CG=GQ⋅GP=GB⋅GD.
De
CG=AC-AG,BG=AG-ABésDG=AD-AG,
tehát
AG(AC-AG)=(AG-AB)(AD-AG),
miből
AG=AB⋅ADAD+AB-AC=AB⋅ADAB+CD=const.,
vagyis G pont is fix. Minthogy pedig GMS∢=90∘, azért M pont mértani helye a GS mint átmérő fölé rajzolt kör.
 

(Krisztián György, Pécs.)
 

A feladatot még megoldották: König D., Krausz B., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Selényi M., Sasvári G.