Kezdőlap


Feladat:	766. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bayer B. , Czank K. , Dányi I. , Faith F. , Filkorn Jenő , Keesz J. , Kerekes T. , Kőnig D. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Kürth A. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Póka Gy. , Sasvári G. , Scharff J. , Scheuer R. , Smodics K. , Stromfeld F. , Szőllősy J.
Füzet:	1900/március, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyed- és magasabb fokú függvények, Függvényvizsgálat, Függvények ábrázolása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/december: 766. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A görbe az ordinatatengelyre nézve simmetrikus, mert $y$ minden értékéhez $x$ -nek két értéke tartozik, mely értékek csak előjelre nézve különböznek egymástól. Minthogy a függvény még így is írható

\begin{matrix} y = (x^{2} - 1) (x^{2} - 2) \end{matrix}

azért látjuk, hogy

y = \pm \infty

, ha

x = \pm \infty

, továbbá ha

y = 0

, akkor

x

-nek értékei:

\pm 1, \pm \sqrt[]{2}

.
Hogy a függvény minimumát meghatározhassuk, kifejezzük

x

-et

y

által:

\begin{matrix} x = \pm \sqrt[]{\frac{3}{2} \pm \sqrt[]{\frac{1}{4} + y}} \end{matrix}

látjuk, hogy

y

minimuma

- \frac{1}{4}

, mely esetben

x = \pm \sqrt[]{\frac{3}{2}}

.
Hogy a görbét megrajzolhassuk, határozzuk meg

y

-nak még nehány értékét; a változóknak egymáshoz tartozó értékei a következők:

\begin{matrix} x & - \infty, & ... - 2, & - \sqrt[]{2}, & - \sqrt[]{\frac{3}{2}}, & - 1, & - \frac{2}{3}, & - \frac{1}{2}, & - \frac{1}{3}, & 0, & \frac{1}{3}, & ... + \infty \\ y & + \infty, & ... 6, & 0, & - \frac{1}{4}, & 0, & \frac{70}{81}, & 1 \frac{5}{16}, & 1 \frac{55}{81}, & 2, & 1 \frac{55}{81}, & ... + \infty \end{matrix}

A görbe tehát

+ \infty

-től csökken

- \frac{1}{4}

-ig, innen nő

2

-ig, a mikor

x = 0

, majd ismét csökken

- \frac{1}{4}

-ig s újra nő

+ \infty

-ig. A görbének asymptotája nincs.

(Filkorn Jenő, Nyitra.)

A feladatot még megoldották: Bayer B., Czank K., Dányi I., Faith F., Keesz J., Kerekes T., König D., Krausz B., Krisztián Gy., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Póka Gy., Sasvári G., Scharff J., Scheuer r., Smodics K., Stromfeld F., Szöllősy J.