Kezdőlap


Feladat:	759. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czukor K. , Hein I. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Scharff Jenő
Füzet:	1900/szeptember, 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Terület, felszín, Húrnégyszögek, Négyszögek geometriája, Koszinusztétel alkalmazása, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/november: 759. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A B C D$ négyszög oldalai $a, b, c, d$ ; a szemközt fekvő csúcsok $A$ és $C$ , illetőleg $D$ és $B$ ; az egyik átló $D B = e$ ; továbbá $D A B ∢ = α$ és $B C D ∢ = γ$ . Az $A D B$ háromszög kettős területe: $a b sin α$ ; a $B C D$ háromszögé $c d sin γ$ ; így tehát a négyszög kettős területe:

\begin{matrix} 2 t = a b sin α + c d sin γ . \end{matrix}

(1)

A D B

és

B C D

háromszögekből:

\begin{matrix} e^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos α és e^{2} = c^{2} + d^{2} - 2 c d cos γ \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} = 2 a b cos α - 2 c d cos γ \end{matrix}

(2)

(1)-nek mindkét oldalát

2

-vel megszorozva, az egyenletet négyzetre emelve s (2)-nek négyzetéhez hozzáadva, ered:

\begin{matrix} 16 t^{2} + {(a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2})}^{2} = 4 a^{2} b^{2} (sin^{2} α + cos^{2} α) + 4 c^{2} d^{2} (sin^{2} γ + cos^{2} γ) + \end{matrix}

\begin{matrix} + 8 a b c d (sin α sin γ - cos α cos γ), \end{matrix}

miből

\begin{matrix} 16 t^{2} + {(a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2})}^{2} = 4 a^{2} b^{2} + 4 c^{2} d^{2} - 8 a b c d cos (α + γ) . \end{matrix}

Eme egyenletben csakis

cos (α + γ)

változik, a többi tagok állandók. Ennélfogva a négyszög területe

t

legnagyobb, ha

- cos (α + γ)

a legnagyobb;

- cos (α + γ)

pedig akkor legnagyobb, a mikor

cos (α + γ) = - 1

, vagyis a mikor

α + γ = 180^{\circ}

. A négyszög területe tehát akkor legnagyobb, amikor a szemközt fekvő szögek összege

180^{\circ}

, vagyis amikor a négyszög húrnégyszög.

(Scharff Jenő, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Czukor K., Hein I., Lukhaub Gy., Lupsa Gy.