Kezdőlap


Feladat:	758. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer B. , Czank K. , Filkorn J. , Kerekes T. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Krumpschink K. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Perl Gyula , Sasvári G. , Sasvári J. , Ulmer T.
Füzet:	1900/szeptember, 27 - 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Ellipszis egyenlete, Kúpszeletek érintői, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/november: 758. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott egyenletek még így is írhatók :

\begin{matrix} \frac{4}{25} x + \frac{1}{5} y = 1 és \frac{3}{25} x + \frac{4}{15} y = 1. \end{matrix}

(1)

Ha a keresett ellipsis egyenlete

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \end{matrix}

(2)

és az érintési pontok coordinátái

x_{1}, y_{1}

és

x_{2}, y_{2}

, akkor az érintők egyenletei:

\begin{matrix} \frac{x_{1}}{a^{2}} x + \frac{y_{1}}{b^{2}} y = 1 és \frac{x_{2}}{a^{2}} x + \frac{y_{2}}{b^{2}} y = 1. \end{matrix}

(3)

Eme egyenleteket az (1) alatti egyenletekkel összehasonlítva, látjuk hogy:

\begin{matrix} x_{1} = \frac{4}{25} a^{2}, y_{1} = \frac{1}{5} b^{2}, x_{2} = \frac{3}{25} a^{2}, y_{2} = \frac{4}{15} b^{2} . \end{matrix}

De az érintési pontok coordinátái az ellipsis egyenletét is kielégítik, miért is:

\begin{matrix} 16 a^{2} + 25 b^{2} = 625 \end{matrix}

és

\begin{matrix} 81 a^{2} + 400 b^{2} = 625 \cdot 9, \end{matrix}

mely egyenletekből

a^{2} = 25, b^{2} = 9

és így az ellipsis egyenlete:

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1. \end{matrix}

(Perl Gyula, Győr.)

A feladatot még megoldották: Bayer B. , Czank K., Filkorn J., Kerekes T., Krausz B. , Krisztián Gy., Krumpschink K., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Sasvári G., Sasvári J., Ulmer T.