Kezdőlap


Feladat:	755. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czank K. , Filkorn J. , Krausz B. , Krisztián György , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Sasvári G.
Füzet:	1900/október, 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Trapézok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/november: 755. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy két egymást metsző kör közös húrja: a körök hatványvonala (K. M. L. IV. 135.). Hogy tehát tételünket bebizonyítsuk, kimutatjuk, hogy a trapéz nem párhuzamos oldalainak metszési pontja $P$ , a hatványvonalnak egyik pontja.

P B D

és

P A C

háromszögekben (K. M. L. IV. 96. lap, 412. feladat) :

\begin{matrix} {\bar{P O}}^{2} = \frac{1}{2} ({\bar{P D}}^{2} + {\bar{P B}}^{2} - {\bar{B D}}^{2}) + {\bar{O B}}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{P O}}_{1}^{2} = \frac{1}{2} ({\bar{P C}}^{2} + {\bar{P A}}^{2} - {\bar{A C}}^{2}) + {\bar{O_{1} A}}^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {\bar{P O}}^{2} = P D \cdot P B \cdot cos C P D + {\bar{O B}}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{P O}}_{1}^{2} = P C \cdot P A \cdot cos C P D + {\bar{O_{1} A}}^{2} . \end{matrix}

Minthogy pedig az

A P B

és

D C P

hasonló háromszögekben

\begin{matrix} P D \cdot P B = P C \cdot P A, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} {\bar{P O}}^{2} - {\bar{P O}}_{1}^{2} = {\bar{O B}}^{2} - {\bar{O_{1} A}}^{2}, \end{matrix}

a mi azt mutatja, hogy

P

valóban az

O

és

0_{1}

középpontú körök hatványvonalán, vagyis

T T_{1}

közös húron fekszik.

(Krisztián György, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Czank K., Filkorn J., Krausz B., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Sasvári G.