Kezdőlap


Feladat:	751. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer Béla , Bogdán G. , Czank K. , Filkorn J. , Holczmann J. M. , Kerekes T. , Krausz B. , Krisztián Gy. , König D. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Messik G. , Messik V. , Perl Gy. , Póka Gy. , Rosenberg Á. , Sasvári G.
Füzet:	1900/február, 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Oszthatóság, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/november: 751. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott kifejezés így írható:

\begin{matrix} 2903^{n} - 803^{n} - (464^{n} - 261^{n}) . \end{matrix}

Minthogy két egyenlő kitevőjű hatványmennyiség külömbsége az alapok külömbségével osztható, azért

\begin{matrix} 2903^{n} - 803^{n} osztható 2903 - 803 = 2100 = 7 \cdot 300 -zal \end{matrix}

és

\begin{matrix} 464^{n} - 261^{n} osztható 464 - 261 = 203 = 7 \cdot 29 -czel, \end{matrix}

miért is kifejezésünk osztható

7

-tel. De kifejezésünket még így is írhatjuk:

\begin{matrix} 2903^{n} - 464^{n} - (803^{n} - 261^{n}); \end{matrix}

\begin{matrix} 2903^{n} - 464^{n} osztható 2903 - 464 = 2439 = 9 \cdot 271 -gyel \end{matrix}

és

\begin{matrix} 803^{n} - 261^{n} osztható 803 - 261 = 542 = 2 \cdot 271 -gyel . \end{matrix}

Kifejezésünk tehát osztható

271

-gyel. Minthogy

7

és

271

relatív prímszámok, azért a megadott kifejezés osztható

7 \cdot 271 = 1897

-tel.

(Bayer Béla, Losoncz.)

A feladatot még megoldották: Bogdán G., Czank K., Filkorn J., Holzmann J.M., Kerekes T., König D., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Perl Gy., Póka Gy., Rosenberg Á., Sasvári G.