Kezdőlap


Feladat:	749. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baumann J. , Bayer B. , Benedek Zs. , Burján K. , Cukor K. , Czank K. , Demeter J. , Faith F. , Filkorn J. , Goldstein Á. , Hein I. , Holzmann J. , Izsáky L. , Kerekes T. , Kertész G. , Kőnig D. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Krumpschink K. , Kürth A. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Messik G. , Messik V. , Perl Gy. , Póka Gy. , Rosenberg Á. , Sasvári G. , Sasvári J. , Scharff J. , Selényi M. , Singer A. , Smodics K. , Stromfeld Ferencz , Szmodics H. , Weisz P. , Wohlstein S.
Füzet:	1900/június, 178 - 179. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Aranymetszés, Trigonometriai azonosságok, Szögfelező egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/november: 749. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy $A_{2} O A_{1} ∢ = 72^{\circ}$ és $D O A_{1} ∢ = 36^{\circ}$ , azért

\begin{matrix} {(A_{1} A_{2} \cdot A_{1} A_{3})}^{2} = {(2 sin 36^{\circ} \cdot 2 sin 72^{\circ})}^{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = {(4 \sqrt[]{\frac{1 - cos 72^{\circ}}{2}} \cdot \sqrt[]{1 - cos 72^{\circ}})}^{2} = 8 (1 - cos 72^{\circ}) (1 - cos 72^{\circ}) . \end{matrix}

Ha a

D A_{1} O

szögnek

A_{1} E

szögfelezőjét megrajzoljuk, akkor a

D A_{1} E

és

A_{1} E O

egyenlőszárú háromszögeket kapjuk, mert

A_{1} D E ∢ = A_{1} E D ∢ = 72^{\circ}

és

E A_{1} O ∢ = E O A_{1} ∢ = 36^{\circ}

Minthogy pedig

A_{1} D E ▵ \sim A_{1} D O ▵

, azért

\begin{matrix} A_{1} O : A_{1} D = A_{1} D : E D \end{matrix}

minthogy pedig a feladat értelmében a kör sugara

= 1

és

O E = E A_{1} = A_{1} D

, azért

\begin{matrix} 1 : A_{1} D = A_{1} D : 1 - A_{1} D \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {\bar{A_{1} D}}^{2} + A_{1} D = 1, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} A_{1} D = \frac{1}{2} (- 1 \pm \sqrt[]{5}), \end{matrix}

mely kifejezésben csakis a felső előjel használható.
Így tehát

\begin{matrix} cos 72^{\circ} = \frac{A_{1} D}{2 \cdot A_{1} O} = \frac{1}{4} (- 1 + \sqrt[]{5}) . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} {(A_{1} A_{2} \cdot A_{1} A_{3})}^{2} = 8 [1 - \frac{1}{4} (- 1 + \sqrt[]{5})] [1 - \frac{1}{16} (6 - 2 \sqrt[]{5})] = \end{matrix}

\begin{matrix} = 8 \frac{5 - \sqrt[]{5}}{4} \cdot \frac{5 + \sqrt[]{5}}{8} = \frac{20}{4} = 5. \end{matrix}

(Stromfeld Ferencz, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Baumann J., Bayer B., Benedek Zs., Burján K., Cukor K., Czank K., Demeter J., Faith F., Filkorn J., Goldstein Á., Hein I., Holzmann J., Izsáky L., Kerekes T., Kertész G., König D., Krausz B., Krisztián Gy., Krumpschink K., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Messik V., Perl Gy., Póka Gy., Rosenberg Á., Sasvári G., Sasvári J., Scharff J., Selényi M., Singer A., Smodics K., Szmodics H., Weisz P., Wohlstein S.