Kezdőlap


Feladat:	744. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Krausz B. , Krisztián György , Lukhaub Gy. , Sasvári G.
Füzet:	1901/december, 115 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglalapok, Húrnégyszögek, Projektív geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/október: 744. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Legyen a derékszögű négyszög $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ és a másik négyszög $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ , úgy, hogy $B_{1} B_{3} ⊥ A_{1} A_{3}$ és $B_{2} B_{4} ⊥ A_{2} A_{4}$ .
$B_{1} B_{2}, B_{2} B_{3}, B_{3} B_{4}$ és $B_{4} B_{1}, A_{1} A_{2}$ -t $C_{1} D_{1}, E_{1}$ és $F_{1}$ pontokban metszik, $A_{2} A_{3}$ -t $F_{2}, E_{2}, D_{2}$ és $C_{2}$ pontokban, $A_{3} A_{4}$ -t $E_{3}, F_{3}, C_{3}$ és $D_{3}$ pontokban s végre $A_{4} A_{1}$ -t $D_{4}, C_{4}, F_{4}$ és $E_{4}$ pontokban.
$B_{2} A_{3}, A_{1} A_{2}$ -t $G_{1}$ -ben $A_{4} A_{1}$ -t $G_{4}$ -ben és $A_{1} B_{4}, A_{2} A_{3}$ -t $G_{2}$ -ben és $A_{3} A_{4}$ -t $G_{3}$ -ban metszi.
A $B_{1} B_{2} B_{4} A_{3}$ húrnégyszögben:

\begin{matrix} B_{1} B_{2} A_{3} ∢ = B_{1} B_{4} A_{3} ∢ = α; \end{matrix}

minthogy pedig

\begin{matrix} \hat{B_{1} A_{3}} = \hat{A_{3} B_{3}}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} B_{1} B_{2} A_{3} ∢ = A_{3} B_{2} B_{3} ∢ = α \end{matrix}

és

\begin{matrix} B_{1} B_{4} A_{3} ∢ = A_{3} B_{4} C_{3} ∢ = α \end{matrix}

Hasonlóan

\begin{matrix} A_{1} B_{2} B_{3} ∢ = A_{1} B_{2} C_{1} ∢ = β, \end{matrix}

és

\begin{matrix} A_{1} B_{4} B_{3} ∢ = A_{1} B_{4} B_{1} ∢ = β . \end{matrix}

Így tehát

C_{4}, D_{4}, A_{1}

és

G_{4}

pontok harmonikus pontok, mert a

C_{4} B_{2} D_{4}

háromszög

B_{2} C_{4}

és

B_{2} D_{4}

oldalainak és a

B_{2} A_{1}

és

B_{2} G_{4}

belső s külső szögfelezőknek a talppontjait képezik.
Hasonlóan

C_{2}, D_{2}, G_{2}

és

A_{3}

pontok szintén harmonikus pontok s mivel az egyes szeletek fölött is ugyanakkora szögek feküsznek, mint az előbbi háromszögnél s minthogy továbbá az

A_{1} A_{4}

, és

A_{2} A_{3}

hordozók párhuzamosak, azért e pontsorok perspectivikusak is, vagyis:

\begin{matrix} (C_{4} D_{4} A_{1} G_{4}) = (C_{2} D_{2} A_{3} G_{2}) . \end{matrix}

\begin{matrix} (C_{4} D_{4} A_{1} G_{4}) = (D_{1} C_{1} A_{1} G_{1}) \end{matrix}

és

\begin{matrix} (C_{2} D_{2} A_{3} G_{2}) = (D_{3} C_{3} A_{3} G_{3}), \end{matrix}

mert

A_{1}

, ill.

A_{3}

pontjuk közös és a megfelelő pontokat összekötő egyenesek egy-egy pontban jönnek össze. Ebből pedig az következik, hogy mind a négy harmonikus pontsor perspectivikus helyzetű s így

4 - 4

megfelelő pont

C_{1}, C_{2}, C_{3}

és

C_{4};