Kezdőlap


Feladat:	737. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Krausz Béla
Füzet:	1900/január, 107 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Pont körre vonatkozó hatványa, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/október: 737. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A B C D$ húrnégyszög $A C$ és $B D$ átlóinak metszési pontját $E$ -vel. Ismeretes (K.M.L.V.96. lap), hogy

\begin{matrix} {\bar{A D}}^{2} + {\bar{A B}}^{2} = \frac{{\bar{B D}}^{2}}{2} + 2 {\bar{A E}}^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} {\bar{B C}}^{2} + {\bar{C D}}^{2} = \frac{{\bar{B D}}^{2}}{2} + 2 {\bar{E C}}^{2} \end{matrix}

A két egyenletet összeadva:

\begin{matrix} {\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} + {\bar{C D}}^{2} + {\bar{A D}}^{2} = {\bar{B D}}^{2} + 2 ({\bar{A E}}^{2} + 2 {\bar{E C}}^{2}) \end{matrix}

\begin{matrix} A E \cdot E C = D E \cdot E B = {\bar{E B}}^{2} = \frac{{\bar{B D}}^{2}}{4}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} {\bar{B D}}^{2} = 4 A E \cdot E C \end{matrix}

s így

\begin{matrix} {\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} + {\bar{C D}}^{2} + {\bar{D A}}^{2} = 2 ({\bar{A E}}^{2} + 2 A E \cdot E C + {\bar{E C}}^{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 {(A E + E C)}^{2} = 2 {\bar{A C}}^{2} . \end{matrix}

(Krausz Béla, Pécs.)

Megoldások száma: 49.