Kezdőlap


Feladat:	706. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Faith F. , Filkorn J. , Frank A. , Freibauer E. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Otay Károly , Perl Gy. , Sasvári G. , Szabó J.
Füzet:	1900/február, 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Szinusztétel alkalmazása, Magasságpont, Beírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/június: 706. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1 $^{\circ})$ Ismeretes, hogy (K.M.L.V. 60. lap)

\begin{matrix} A M = a ctg α, B M = b ctg β, C M = c ctg α, \end{matrix}

vagy miután

\begin{matrix} \frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} \frac{c}{sin γ} = 2 R, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} A M = \frac{a}{sin α} cos α = 2 R cos α \end{matrix}

\begin{matrix} B M = 2 R cos β, C M = 2 R cos γ . \end{matrix}

Így tehát

\begin{matrix} A M + B M + C M = 2 R (cos α + cos β + cos γ) . \end{matrix}

De (K.M.L.V. 53. lap)

\begin{matrix} cos α + cos β + cos γ = 1 + \frac{r}{R} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} A M + B M + C M = 2 R (1 + \frac{r}{R}) = 2 (R + r) . \end{matrix}

^{\circ})

C B_{1} M

háromszögből:

\begin{matrix} B_{1} M = M C cos α \end{matrix}

s így

\begin{matrix} \frac{A M \cdot C M}{B_{1} M} = \frac{A M}{cos α} = \frac{2 R cos α}{cos α} = 2 R, \end{matrix}

hasonlóképp

\begin{matrix} \frac{B M \cdot C M}{A_{1} M} = 2 R, \frac{A M \cdot B M}{C_{1} M} = 2 R . \end{matrix}

Minthogy pedig

R

állandó, ha az

A

csúcs a háromszög köré írható kör kerületén mozog, azért

\begin{matrix} \frac{A M \cdot C M}{B_{1} M} = \frac{B M \cdot C M}{A_{1} M} = \frac{A M \cdot B M}{C_{1} M} = const . \end{matrix}

(Oltay Károly, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Faith F., Filkorn J., Frank A., Freibauer E., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Perl Gy., Sasvári G., Szabó J.