Kezdőlap


Feladat:	699. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bayer B. , Bertrám J. , Burján K. , Czank K. , Fait F. , Filkorn Jenő , Freibauer E. , Kerekes T. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Kürth A. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Messik G. , Perl Gy. , Petrogalli G. , Póka Gy. , Sasvári G. , Sasvári J. , Stromfeld F. , Szabó J.
Füzet:	1899/október, 33 - 34. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Nevezetes azonosságok, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/június: 699. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott egyenletek még így is írhatók:

\begin{matrix} y + z = 6 - x \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} y^{2} + z^{2} = 14 - x^{2} \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} (y + z) (y^{2} - y z + z^{2}) = 36 - x^{2} \end{matrix}

(3)

(1)-nek négyzetéből (2)-t kivonva:

\begin{matrix} 2 y z + 14 - x^{2} = 36 - 12 x + x^{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} y z = x^{2} - 6 x + 11 \end{matrix}

(4)

(1)-et, (2)-t és (4)-et (3)-ba téve, a kijelölt míveleteket elvégezve és az egyenletet rendezve, kapjuk:

\begin{matrix} x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0. \end{matrix}

Ha eme egyenletben

x

helyébe

(u - 2)

-t teszünk, akkor ered:

\begin{matrix} u^{3} - u = 0, \end{matrix}

miből

u

-nak értékei:

- 1, 0, 1

, így tehát

x

értékei:

1,2, 3

.
Ha

x

-nek értékeit rendre (1)-be és (2)-be tesszük, (1)-et négyzetre emeljük, ebből (2)-t kivonjuk és végül az egyenletet

2

-vel elosztjuk, a következő egyenletrendszereket kapjuk:

\begin{matrix} y + z = 5 y + z = 4 y + z = 3 \end{matrix}

\begin{matrix} y z = 6 y z = 3 y z = 2. \end{matrix}

Eme egyenletrendszereket megoldva, megkapjuk az egyenletek gyökeit:

\begin{matrix} \begin{matrix} x | & 1, & 1, & 2, & 2, & 3, & 3. \\ y | & 2, & 3, & 3, & 1, & 1, & 2. \\ z | & 3, & 2, & 1, & 3, & 2, & 1. \end{matrix} \end{matrix}

(Filkorn Jenő, Nyitra.)

A feladatot megoldották: Bayer B., Bertrám J., Burján K., Czank K., Fait F., Freibauer E., Kerekes T., Krausz B., Krisztián Gy., Kürth A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Perl Gy., Petrogalli G., Póka Gy., Sasvári G., Sasvári J., Stromfeld F., Szabó J.