Kezdőlap


Feladat:	691. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bayer B. , Boros J. , Czank K. , Filkorn J. , Fleischer Ferencz , Freibauer Ede , Kéler E. , Kerekes T. , Kőnig D. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Obláth R. , Perl Gy. , Rozlosnik P. , Sasvári G. , Schwartz S. , Szőllősy J.
Füzet:	1900/február, 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfelező egyenes, Síkgeometriai szerkesztések, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/április: 691. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. $A B$ -re és $A C$ -re $A$ -ból rámérjük a $B C$ oldal felét, úgy, hogy $A E = A D = \frac{B C}{2}$ . $E$ -ben és $D$ -ben $A B$ -re, illetőleg $A D$ -re merőlegeseket emelünk, melyek egymást $O$ -ban metszik. $O$ -ból, mint középpontból $E O$ sugárral kört rajzolunk, melyhez a $B C$ -vel párhuzamos $X Y$ érintőt rajzoljuk.

Bizonyítás.

\begin{matrix} A X = A E + E X = \frac{B C}{2} + X F \end{matrix}

\begin{matrix} A Y = A D + D Y = \frac{B C}{2} + Y F . \end{matrix}

A két egyenletet összeadva:

\begin{matrix} A X + A Y = B C + X Y . \end{matrix}

(Freibauer Ede, Budapest.)

II. Megoldás. Ismeretes, hogy a háromszög szögfelezője a szemben fekvő oldalt oly két részre osztja, mely részek aránya egyenlő a másik két oldal arányával. Ha tehát megrajzoljuk az

A D

szögfelezőt és

A

-ból

A B

-re rámérjük

B D

-t,

A C

-re pedig

D C

-t, úgy hogy

A E = B D

és

A F = D C

, akkor

E F

párhuzamos

B C

-vel, mert

\begin{matrix} A B : A E = A C : A F . \end{matrix}

Ezután megrajzoljuk a

B E F

és

C F E

szögek felezőit, melyek egymást

G

-ben metszik s e ponton át

B C

-vel párhuzamost rajzolunk.

X Y

a keresett egyenes.

Bizonyítás. A szerkesztésből következik, hogy

\begin{matrix} A E + A F = B C, \end{matrix}

(1)

minthogy továbbá

E X G

és

F Y G

háromszögek egyenlő szárúak, azért

\begin{matrix} E X = X G és F Y = G Y . \end{matrix}

(2)

E három egyenletet összeadva, kapjuk, hogy

\begin{matrix} A X + A Y = B C + X Y . \end{matrix}

(Fleischer Ferencz, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Bayer B., Boros J., Czank K., Filkorn J., Kéler E., Kerekes T., König D., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Obláth R., Perl Gy., Rozlosnik P., Sasvári G., Schwartz S., Szöllősy J.