Feladat:	688. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Appel S. ,  Bayer B. ,  Boros J. ,  Czank K. ,  Freibauer E. ,  Kerekes T. ,  Kőnig Dénes ,  Krausz B. ,  Krisztián Gy. ,  Lukhaub Gy. ,  Lupsa Gy. ,  Obláth R. ,  Perl Gy. ,  Sasvári G. ,  Szőllőssy J. ,  Vajda Ö. ,  Weisz J.
Füzet:	1899/szeptember, 13. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/április: 688. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle S_1=\frac{1}{2}\mathrm{,}{S}_2=\frac{2}{3}\mathrm{,}{S}_3\frac{3}{4}\mathrm{,}{S}_4=\frac{4}{5}\text{s így}{S}_n=\frac{n}{n+1}\mathrm{.}}\end{array}$ Hogy e képlet helyességét bebizonyítsuk, adjuk az $n$ tag összegéhez a következő tagot; ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle S_{n+1}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{\left(n+1\right)+\left(n+2\right)}=\frac{n\left(n+2\right)+1}{\left(n+1\right)+\left(n+2\right)}=}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\left(n+1\right)}^2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n+1}{n+2}\mathrm{.}}\end{array}$ Látjuk, hogy $n+1$ tagnak összegét ugyanolyan alakú képlet adja, mint $n$ tagnak összegét s így az $S_n=\frac{n}{n+1}$ képlet helyes.   (König Dénes, Budapest.)   A feladatot még megoldották: Appel S., Bayer B., Boros J., Czank K., Freibauer E., Kerekes T., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Obláth R., Perl Gy., Sasvári G., Szőllősy J., Vajda Ö., Weisz J.