Kezdőlap


Feladat:	687. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bender E. , Burján K. , Csete F. A. , Czank K. , Filkorn Jenő , Freibauer E. , Kerekes T. , Kiss A. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lindtner M. , Lukhabu Gy. , Lupsa Gy. , Obláth R. , Ovenden S. , Sasvári G. , Szibelth S. , Szőllőssy J. , Weisz J.
Füzet:	1899/november, 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Egyenes körkúpok, Csonkakúp, Térfogat, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/március: 687. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kúp alajának sugara $R$ , magassága $M$ , a metszési kör sugara $r$ , a csonka kúp magassága $m$ .
A kúp felülete:

\begin{matrix} F_{1} = R^{2} π + R π \cdot \frac{R}{cos α} = \frac{R^{2} π}{cos α} (1 + cos α); \end{matrix}

a csonka kúp felülete:

\begin{matrix} F_{2} = R^{2} π + r^{2} π + (R + r) π \cdot \frac{R - r}{cos α} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{R^{2} π}{cos α} (1 + cos α) - \frac{R^{2} π}{cos α} (1 - cos α); \end{matrix}

Így tehát a feladat értelmében:

\begin{matrix} \frac{R^{2} π}{cos α} (1 + cos α) = \frac{2 R^{2} π}{cos α} (1 + cos α) - \frac{2 R^{2} π}{cos α} (1 - cos α), \end{matrix}

\begin{matrix} r = \frac{R}{\sqrt[]{2} tg \frac{α}{2}}; \end{matrix}

minthogy pedig a kúp köbtartalma:

\begin{matrix} K = \frac{R^{2} π M}{3} = \frac{R^{3} π}{3} tg α \end{matrix}

s így

\begin{matrix} R = \sqrt[3]{\frac{3 K}{π tg α}} . \end{matrix}

azért

\begin{matrix} r = \frac{1}{2} \sqrt[]{2} ctg \frac{α}{2} \sqrt[3]{\frac{3 K}{π tg α}} . \end{matrix}

A megadott értékeket helyettesítve:

r = 20,11

dm.

(Filkorn Jenő, Nyitra.)

A feladatot még megoldották: Bender E., Burján K., Csete F. A., Czank K., Freibauer E., Kerekes T., Kiss A., Krausz B., Krisztián Gy., Lindtner M., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Obláth R., Ovenden S., Sasvári G., Szibelth S., Szöllősy J., Weisz J.