Kezdőlap


Feladat:	682. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Burján K. , Kohn B. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Obláth R. , Pollák L. , Sasvári Géza , Weisz J.
Füzet:	1899/november, 53 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Egyenes körkúpok, Gömb és részei, Beírt alakzatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/március: 682. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $x$ a metsző sík távolsága a gömb középpontjától; $y$ és $z$ a kúpból és a gömbből kimetszett körök sugarai. Minthogy a gömbbe írt egyenlő oldalú kúp alapjának sugara $\frac{r}{2} \sqrt[]{3}$ , magassága $\frac{3}{2} r$ , azért:

\begin{matrix} \frac{3}{2} r : r - x = \frac{r}{2} \sqrt[]{3} : y \end{matrix}

miből

\begin{matrix} y = \frac{r - x}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

Minthogy továbbá

\begin{matrix} z^{2} = (r - x) (r + x) \end{matrix}

azért a metszetek területeinek külömbsége

\begin{matrix} (z^{2} - y^{2}) π = π [(r - x) (r + x) - \frac{(r - x^{2}}{3}] = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{π}{3} (- 4 x^{2} + 2 r x + 2 r^{2}) . \end{matrix}

E függvény akkor veszi fel maximális értékét, ha

\begin{matrix} x = \frac{r}{4} . \end{matrix}

Ekkor a területek külömbsége

\frac{3}{4} π r^{2}

.
A területek külömbsége a legkisebb, ha a metsző sík a kúp alapján vagy csúcsán megy át. Ha tehát

x, - \frac{r}{2}

-től

+ r

-ig változik, akkor a területek külömbsége

0

-tól

\frac{3}{4} π r^{2}

-ig nő, azután pedig ismét

0

-ig fogy.

(Sasvári Géza, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Burján K., Kohn B., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Obláth R., Pollák L., Weisz J.