Kezdőlap


Feladat:	681. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Czank K. , Frank J. , Kerekes T. , Kiss A. , Krisztián György , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Obláth R. , Sasvári G. , Weisz J.
Füzet:	1899/október, 39 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Egyenes körkúpok, Csonkakúp, Gömb és részei, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/március: 681. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kúp alapjának sugara $A D = x$ , magassága $C D = m$ , $A C$ a gömböt $E$ -ben érinti. A feladat értelmében

\begin{matrix} \frac{8 r^{3} π}{3} = \frac{x^{2} π m}{3} \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x = \frac{m r}{C E} = \frac{m r}{\sqrt[]{m^{2} - 2 m r}}, \end{matrix}

mit (1)-be téve:

\begin{matrix} m^{2} - 8 r m = - 16 r^{2} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} m = 4 r \end{matrix}

s így

\begin{matrix} x = r \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Ha továbbá a csonka kúp alapjának sugara

z = A B

, födőlapjának sugara

D C = v

és

A D

a gömböt

E

-ben érinti, akkor a feladat értelmében:

\begin{matrix} \frac{8 r^{2} π}{3} = \frac{2 r π}{3} (z^{2} + v z + v^{2}) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 4 r^{2} = z^{2} + v z + v^{2} \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} {(z - v)}^{2} + 4 r^{2} = {(v + z)}^{2} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} v z = r^{2} \end{matrix}

(3)

mit (2)-be téve

\begin{matrix} z^{2} + v^{2} = 3 r^{2} \end{matrix}

(4)

(3)-ből és (4)-ből kapjuk, hogy

\begin{matrix} z = \frac{r}{2} (\sqrt[]{5} + 1) és \frac{r}{2} (\sqrt[]{5} - 1) . \end{matrix}

Ha az oldalvonalak hajlásszögeit

α

-val és

β

-val jelöljük, akkor a kúpnál

\begin{matrix} tg α = \frac{m}{x} = \frac{4 r}{r \sqrt[]{2}} = 2 \sqrt[]{2} \end{matrix}

a csonka kúpnál

\begin{matrix} tg β = \frac{2 r}{z - v} = \frac{2 r}{r} = 2 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} tg α : tg β = \sqrt[]{2} : 1. \end{matrix}

(Krisztián György.)

A feladatot még megoldották: Czank K., Frank J., Kerekes T., Kiss A., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Obláth R., Sasvári G., Weisz J.