I. Megoldás. $1^{\circ }$. Rajzoljunk a feladatban megnevezett derékszögű négyszögek köré köröket.

 

1. ábra

 

α1=2R-α;β1=2R-β, tehát ${\gamma }_1=4R-{\alpha }_1-{\beta }_1=\alpha +\beta$; ennélfogva

$\begin{array}{c}{\displaystyle \gamma +{\gamma }_1=\alpha +\beta +\gamma =2R\mathrm{,}}\end{array}$

mely egyenlet annak a feltétele, hogy a $CLRM$ négyszög is húrnégyszög, a miért is a három kör csakugyan $R$ pontban metszi egymást.
Ugyancsak a fent említett húrnégyszögekből következik, hogy

$\begin{array}{c}{\displaystyle \delta ={\delta }_1={\delta }_2}\end{array}$

(1)

s miután

$\begin{array}{c}{\displaystyle \eta =\delta \mathrm{,}{\eta }_1={\delta }_1\text{és}{\eta }_2={\delta }_2}\end{array}$

(2)

mint ugyanazon íven fekvő kerületi szögek, azért az (1) és (2)-ből közvetlenül látható, hogy:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \eta ={\eta }_1={\eta }_2\mathrm{.}}\end{array}$

Ha még figyelembe vesszük, hogy $A{A}_1\parallel B{B}_1\parallel C{C}_1$, akkor világos, hogy az $\eta \mathrm{,}{\eta }_1$ és ${\eta }_2$ szögek váltó, illetve megfelelő szögek s így az $A_1\mathrm{,}{B}_1$ és $C_1$ pontok egy az $R$ ponton átmenő egyenesen fekszenek.
$2^{\circ }$. Az $A_1{A}_2\mathrm{,}{B}_1{B}_2$ és $C_1{C}_2$ átlók egyszersmind a megfelelő körök átmérői, minélfogva:

$\begin{array}{c}{\displaystyle A_{1}R{A}_2\sphericalangle =B_{1}R{B}_2\sphericalangle =C_{1}R{C}_2\sphericalangle ={90}^{\circ }\mathrm{,}}\end{array}$

a miből folyólag az $A_2\mathrm{,}{B}_2$ és $C_2$ pontok is egy az $R$ ponton átmenő és az $A_1{B}_1{C}_1$ egyenesre merőlegesen álló egyenesen vannak.

 

(Devecis del Vecchio Mihály, műegyetemi hallgató, Budapest.)

 

II. Megoldás. Ha $AB\perp A\text{'}B\text{'}\mathrm{,}BC\perp B\text{'}C\text{'}\text{és}AC\perp A\text{'}C\text{'}$, akkor

$\begin{array}{c}{\displaystyle ABC▵\sim A\text{'}B\text{'}C\text{'}▵\mathrm{,}}\end{array}$

mert szögeik szárai egymásra merőlegesek s így a megfelelő szögek egyenlők.
Mutassuk ki mindenekelőtt azt, hogy ha az $ABC▵$ csúcsain át bármily irányban párhuzamosokat húzunk és ezekre az $A\text{'}B\text{'}C\text{'}▵$ csúcsaiból merőlegeseket bocsátunk, akkor a megfelelő egyenesek $A_1\mathrm{,}{B}_1$ és $C_1$ metszéspontjai egy egyenesen feküsznek.
Legyen $\left(B{B}_1\mathrm{,}AC\right)\equiv D{}^{*}\text{és}\left(B_{1}B\text{'}\mathrm{,}A\text{'}C\text{'}\right)\equiv D\text{'}\mathrm{.}$

 

 

2. ábra

 

Minthogy $ADB\sphericalangle =A\text{'}D\text{'}B\text{'}\sphericalangle (\perp$ szárú szögek), azért

$\begin{array}{c}{\displaystyle ABD▵\sim A\text{'}B\text{'}D\text{'}▵}\end{array}$

s így

$\begin{array}{c}{\displaystyle AD:AC=A\text{'}D\text{'}:A\text{'}C\text{'}\mathrm{.}}\end{array}$

(1)

Ha továbbá $\left(A_{1}A\text{'}\mathrm{,}C{C}_1\right)\equiv E\mathrm{,}\left(A_{1}A\text{'}\mathrm{,}B{B}_1\right)\equiv F$ és $\left(B_{1}B\text{'}\mathrm{,}C{C}_1\right)\equiv G$, akkor

$\begin{array}{c}{\displaystyle AD:AC=A_{1}F:A_{1}E}\end{array}$

(2)

és

$\begin{array}{c}{\displaystyle A\text{'}D\text{'}:A\text{'}C\text{'}=EG:E{C}_1}\end{array}$

(3)

s minthogy továbbá $EG=F{B}_1$, azért (2) és (3) tekintetbe vételével (1) így alakul

$\begin{array}{c}{\displaystyle A_{1}F:A_{1}E=F{B}_1:E{C}_1\mathrm{,}}\end{array}$

a mi kritériuma annak, hogy az $A_1\mathrm{,}{B}_1$ és $C_1$ pontok egy egyenesben vannak.
Egészen hasonlóan bizonyítjuk, hogy $A_2\mathrm{,}{B}_2$ és $C_2$ pontok is egy egyenesben feküsznek.
Ha $\left(B{B}_1\mathrm{,}A{A}_2\right)\equiv H\mathrm{,}\left(B_{1}B\text{'}\mathrm{,}{A}_{2}A\text{'}\right)\equiv H\text{'}$ és $\left(B{B}_2\mathrm{,}A\text{'}{A}_2\right)\equiv F_1$, akkor

$\begin{array}{c}{\displaystyle ABH▵\sim A\text{'}B\text{'}H\text{'}▵\mathrm{,}}\end{array}$

mert

$\begin{array}{c}{\displaystyle ABH\sphericalangle =A\text{'}B\text{'}H\text{'}\sphericalangle }\end{array}$

s így

$\begin{array}{c}{\displaystyle AH:A\text{'}H\text{'}=BH:B\text{'}H\text{'}\mathrm{.}}\end{array}$

(4)

De $AH=A_{1}F\mathrm{,}A\text{'}H\text{'}=B_{1}F\mathrm{,}BH=A_2{F}_1\mathrm{,}B\text{'}H\text{'}=B_1{F}_1$, tehát (4) így alakul:

$\begin{array}{c}{\displaystyle A_{1}F:B_{1}F=A_2{F}_1:B_2{F}_1\mathrm{,}}\end{array}$

a miből következik, hogy

$\begin{array}{c}{\displaystyle A_1{B}_{1}F▵\sim A_2{B}_{2}F▵}\end{array}$

Minthogy pedig e két háromszög két pár oldala egymásra merőleges, azért a harmadik oldalpár is merőleges egymásra, vagyis $\overline{A_1{B}_1{C}_1}\equiv \overline{A_2{B}_2{C}_2}$.

 

(Krisztián György, Pécs.)

 

A feladatot még megoldották: Kohn B., Prohászka J., Spitzer Ö., Weisz J. egyetemi hallgatók; továbbá: Filkorn J., Klein A., Krausz B., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Messik G., Sasvári J., Selényi M., Spitzer H.

---

^*DpontaB$B_1$ésACegyenesekmetszéspontja.