Kezdőlap


Feladat:	677. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Filkorn J. , Freibauer E. , Kiss A. , Kohn B. , Kornis F. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Lupsa Gy. , Sasvári Géza , Stern D. , Szabó J. , Vajda Ö. , Weisz J.
Füzet:	1899/szeptember, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/március: 677. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Lapunk V. évfolyamának 96. lapján a következő tételt bizonyítottuk be:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = 2 (\frac{c^{2}}{4} + m^{2}), \end{matrix}

m

c

oldalhoz tartozó középvonala a háromszögnek.
E tételt alkalmazva, kapjuk, hogy

\begin{matrix} {\bar{B C}}^{2} + {\bar{C D}}^{2} = 2 {\bar{C N}}^{2} + \frac{{\bar{B D}}^{2}}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{A B}}^{2} + {\bar{A D}}^{2} = 2 {\bar{A N}}^{2} + \frac{{\bar{B D}}^{2}}{2} \end{matrix}

E két egyenletet összeadva:

\begin{matrix} {\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} + {\bar{C D}}^{2} + {\bar{D A}}^{2} = 2 ({\bar{C N}}^{2} + {\bar{A N}}^{2}) + {\bar{B D}}^{2} \end{matrix}

(1)

De az

A C N

háromszögből:

\begin{matrix} {\bar{C N}}^{2} + {\bar{A N}}^{2} = \frac{{\bar{A C}}^{2}}{2} + 2 {\bar{N M}}^{2} . \end{matrix}

mit (1)-be téve:

\begin{matrix} {\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} + {\bar{C D}}^{2} + {\bar{D A}}^{2} = {\bar{A C}}^{2} + {\bar{B D}}^{2} + 4 {\bar{M N}}^{2} . \end{matrix}

(Sasvári Géza, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Filkorn J., Freibauer E., Kiss A., Kohn B., Kornis F., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Lupsa Gy., Stern D., Szabó J., Vajda Ö., Weisz J.