Kezdőlap


Feladat:	671. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Appel S. , Barcsay Á. , Bayer B. , Bender E. , Benedek Zs. , Burján K. , Csete F. A. , Czank K. , Engel D. , Faith F. , Fekete S. , Filkorn Jenő , Jankovich S. , Kerekes T. , Kiss A. , Kornis F. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gyula , Lupsa Gy. , Ovenden S. , Perl Gy. , Pollák L. , Rozlosnik P. , Sasvári Géza , Stern D. , Stromfeld F. , Szabó J. , Szőllőssy J. , Sztranyavszky S. , Téglás G. , Weisz J.
Füzet:	1899/szeptember, 10 - 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/március: 671. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha az osztást tényleg elvégezzük, akkor a hányados: $x^{2} + 6 x + p + 31$ és a maradék: $(6 p + 156) x + q - 5 p - 155$ . E maradék $x$ -nek minden értéke mellett csak úgy lehet $0$ , ha

\begin{matrix} 6 p + 156 = 0 \end{matrix}

és

\begin{matrix} q - 5 p - 155 = 0. \end{matrix}

E két egyenletből

p = - 26, q = 25

(Lukhaub Gyula, Szeged.)

II. Megoldás.

x^{4} + p x^{2} + q

egyenlő két másodfokú kifejezés szorzatával; e kifejezések gyökei egyúttal

x^{4} + p x^{2} + q

trinomnak is gyökei. De

x^{2} + 6 x + 5 = 0

egyenletnek gyökei

x_{1} = 1, x_{2} = 5

s így

x^{4} + p x^{2} + q = 0

egyenletnek gyökei

x_{2} = \pm 1, x_{2} = \pm 5

. Ennélfogva

x^{4} + p x^{2} + q

akkor

0

, ha

x^{2}

egyenlő

1

-gyel és

25

-tel; s minthogy

p

egyenlő a két gyök összegével ellenkező jellel,

q

pedig a gyökök szorzata, azért

p = - 26

és

q = 25

(Filkorn Jenő, Nyitra.)

III. Megoldás.

\begin{matrix} x^{4} + p x^{2} + q = (x^{2} - 6 x + 5) (x^{2} + a x + b) \end{matrix}

a szorzást elvégezve:

\begin{matrix} x^{4} + p x^{2} + q = x^{4} + (a - 6) x^{3} + (b - 6 a + 5) x^{2} + (5 a - 6 b) x + 5 b . \end{matrix}

Eme egyenlet

x

-nek minden értéke mellett csak úgy maradhat helyes, ha a megfelelő együtthatók egyenlők. Ennélfogva

\begin{matrix} a - 6 = 0 és 5 a - 6 b = 0, \end{matrix}

mely egyenletekből

a = 6

és

b = 5

. Így tehát

\begin{matrix} 6 - 6 a + 5 = - 26 = p \end{matrix}

és

\begin{matrix} 5 b = 25 = q . \end{matrix}

(Sasvári Géza, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Appel S., Barcsay Á., Bayer B., Bender E., Benedek Zs., Burján K., Csete F.A., Czank K., Engel D., Faith F., Fekete S., Jankovich S., Kerekes T., Kiss A., Kornis F., Krausz B., Krisztián Gy., Lupsa Gy., Ovenden S., Perl Gy., Pollák L., Rozlosnik P., Stern D., Stromfeld F., Szabó J., Szőllősy J., Sztranyavszky S., Téglás G., Weisz J.