Kezdőlap


Feladat:	666. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gyula , Sasvári G. , Weisz J.
Füzet:	1899/június, 187. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Beírt háromszög, Tengely körüli forgatás, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/február: 666. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1) Legyen a háromszög alapja $2 y$ , a kör középpontjának távolsága az alaptól $x$ . Ha a forgás az alap körül történik, akkor a keletkező test köbtartalma:

\begin{matrix} v_{1} = \frac{2}{3} {(r + x)}^{2} π y, \end{matrix}

a köbtartalom akkor a legnagyobb, ha

\begin{matrix} u = {(r + x)}^{2} y \end{matrix}

a legnagyobb. De

\begin{matrix} y = \sqrt[]{r^{2} - x^{2}} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} u = {(r + x)}^{2} \sqrt[]{r^{2} - x^{2}} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} u^{2} = {(r + x)}^{4} (r^{2} - x^{2}) \end{matrix}

vagy még

\begin{matrix} u^{2} = (r + x) (r + x) (r + x) (r + x) (r + x) (r - x) \end{matrix}

5

-tel szorozva

\begin{matrix} 5 u^{2} = (r + x) (r + x) (r + x) (r + x) (r + x) (5 r - 5 x) . \end{matrix}

Minthogy a tényezők összege állandó szám:

10 r

, azért

5 u^{2}

akkor a legnagyobb, ha a tényezők egymással egyenlők (K.M.L.V.36. lap), s így a maximum feltétele:

\begin{matrix} r + x = 5 r - 5 x, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{2}{3} r . \end{matrix}

De ekkor a háromszög magassága:

r + \frac{2}{3} r = \frac{5}{3} r

; a legnagyobb térfogatú kúp térfogata pedig:

\begin{matrix} v_{1} = \frac{50}{81} \sqrt[]{5} \cdot r^{3} π . \end{matrix}

(2) Ha a forgás a háromszög csúcsán át húzható érintő körül történik, akkor

\begin{matrix} v_{2} = 2 {(r + x)}^{2} π y - \frac{2}{3} {(r + x)}^{2} π y = \frac{4}{3} {(r + x)}^{2} π y; \end{matrix}

látjuk, hogy

v_{2}

is akkor maximum, ha

x = \frac{2}{3} r

, vagyis ha a háromszög magassága:

x = \frac{5}{3} r

; a keletkező test köbtartalma ez esetben:

\begin{matrix} v_{2} = \frac{100}{81} \sqrt[]{5} \cdot r^{3} π . \end{matrix}

(Lukhaub Gyula.)

A feladatot még megoldották: Krausz B., Krisztián Gy., Sasvári G., Weisz J.