Kezdőlap


Feladat:	665. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Appel S. , Bayer B. , Bender E. , Csete F.A . , Czank K. , Faith F. , Filkorn J. , Follért Gy. , Freibauer E. , Glass M. , Groffits G. , Grosz K. , Jankovich S. , Kerekes T. , Kiss A. , Kohn B. , Krausz B. , Krausz Jenő , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Neumann J. , Obláth R. , Pálfy F. , Perl Gy. , Póka Gy. , Porkoláb J. , Sasvári G. , Sasvári J. , Spitzer Ö. , Szibelth S. , Weisz J.
Füzet:	1899/június, 186 - 187. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/február: 665. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1) Minthogy

\begin{matrix} ctg (β + γ) = \frac{ctg β ctg γ - 1}{ctg β + ctg γ} \end{matrix}

és

\begin{matrix} ctg (β + γ) = - ctg α, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} ctg β ctg γ = 1 - ctg α (ctg β + ctg γ) . \end{matrix}

Így tehát

\begin{matrix} ctg α ctg β + ctg β ctg γ + ctg γ ctg α = ctg α (ctg β + ctg γ) + \end{matrix}

\begin{matrix} + ctg β ctg γ = ctg α (ctg β + ctg γ) + 1 - ctg α (ctg β + ctg γ) = 1. \end{matrix}

(2) Minthogy

\begin{matrix} tg \frac{β + γ}{2} = tg (90^{\circ} - \frac{α}{2}) = ctg \frac{α}{2} = \frac{tg \frac{β}{2} + tg \frac{γ}{2}}{1 - tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2}}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} tg \frac{β}{2} + tg \frac{γ}{2} = ctg \frac{α}{2} - ctg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} . \end{matrix}

Így tehát

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} + tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} + tg \frac{γ}{2} tg \frac{α}{2} = tg \frac{α}{2} = tg \frac{α}{2} (tg \frac{β}{2} + tg \frac{α}{2}) + \end{matrix}

\begin{matrix} + tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} = tg \frac{α}{2} ctg \frac{α}{2} - tg \frac{α}{2} ctg \frac{α}{2} - tg \frac{α}{2} ctg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} + tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 1 - tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} + tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} = 1. \end{matrix}

(Krausz Jenő, Székes-Fehérvár.)

A feladatot még megoldották: Appel S., Bayer B., Bender E., Csete F. A., Czank K., Faith F., Filkornt J., Follért Gy., Freibauer E., Glass M., Groffits A., Grosz K., Jankovich S., Kerekes T., Kiss A., Kohn B., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Neumann J., Obláth R., Pálfy F., Perl Gy., Póka Gy., Porkoláb J., Sasvári G., Sasvári J., Spitzer Ö., Szibelth S., Weisz J.