Kezdőlap


Feladat:	664. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Freibauer E. , Kohn B. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Manheim Emil , Prohászka János , Sasvári G. , Spiczer Ö. , Weisz J.
Füzet:	1899/december, 83 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Magasságpont, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek egybevágósága, Beírt kör középpontja, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Húrnégyszögek, Beírt háromszög, Középponti és kerületi szögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/február: 664. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1 $^{\circ}$ . Minthogy az $A_{1} C_{1} C B_{1}$ és az $A C B_{1} B$ húrnégyszögek, azért

\begin{matrix} C_{1} C B_{1} ∢ = 180^{\circ} - A_{1} = 180^{\circ} - A \end{matrix}

és

\begin{matrix} C B_{1} B ∢ = 180^{\circ} - A \end{matrix}

s így

\begin{matrix} α C B_{1} ∢ = A \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} C α B_{1} ∢ = 180^{\circ} - 2 A . \end{matrix}

Hasonlóképp

C_{1} β A ∢ = 180^{\circ} - 2 B .

és

A_{1} γ B ∢ = 180^{\circ} - 2 C .

De az

A B C

háromszög talpponti háromszögének szögei is

180^{\circ} - 2 A, 180^{\circ} - 2 B, 180^{\circ} - 2 C

. (K.M.L.IV.3‐4.sz.) s így az

α β γ

háromszög csakugyan hasonló az

A B C

háromszög talpponti háromszögéhez.
Ha az

O

pontból az

α β γ

háromszög oldalaira merőlegeseket bocsátunk s ezek az oldalakat

α', β

és

γ'

pontokban metszik, akkor bebizonyíthatjuk, hogy

O α' = O β' = O γ'

Minthogy a feltétel szerint

\bar{A B} = \bar{A_{1} B_{1}}, \bar{B C} = \bar{B_{1} C_{1}}

és

\bar{C A} = \bar{C_{1} A_{1}}

, azért

{A A_{1}}_{}^{⌢} = {B B_{1}}_{}^{⌢} = {C C_{1}}_{}^{⌢}

és így az

\bar{A A_{1}}, \bar{B B_{1}}

és

\bar{C C_{1}}

az adott

O

középpontú körnek egymással egyenlő húrjai. Az egyenlő húrokra a középpontból bocsátott merőlegesek egyenlők, tehát

O α' = O β' = O γ'

s így

O

α β γ

háromszögbe írt kör középpontja.
Vizsgáljuk meg, hogy mikor lesz az

α β γ

háromszög maximum. Hasonló háromszögek közül ama háromszög nagyobb, melyben a beírt kör nagyobb. Az

α β γ

háromszög tehát akkor lesz a legnagyobb, ha a beírt kör eléri maximális értékét. Ez akkor következik be, ha a beírt kör sugara egyenlő az adott

O

középpontú kör sugarával s ekkor az

α β γ

háromszög oldalai érintői lesznek az adott körnek. Ez esetben az

A

és

A_{1}, B

és

B_{1}, C

és

C_{1}

pontok, melyek az

α β γ

háromszög oldalainak s az adott körnek metszéspontjai, egy-egy pontba esnek össze, vagyis az

α β γ

háromszög akkor éri el maximumát, ha az

A B C

és

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszögek összeesnek.

Mielőtt áttérnénk feladatunk többi részeire, a következő segédtételt bizonyítjuk be: ha két egyenlő sugarú kör egymást

C

és

D

pontokban metszi és az egyiken, pl. a

C

ponton keresztül szelőt húzunk, mely a köröket

A

és

B

pontokban metszi, akkor

\bar{A D} = \bar{B D}

Ugyanis, ha

E

O

középpontú kör kerületének oly pontja, mely nem fekszik az

A C D

íven, akkor

A E D ∢ + A C D ∢ = 180^{\circ}

és

B C D ∢ + A C D ∢ = 180^{\circ}

s így

A E D ∢ = B C D ∢

; minthogy pedig egyenlő sugarú körökben egyenlő kerületi szögekhez egyenlő húrok tartoznak, azért

\bar{A D} = \bar{B D}

^{\circ}

. Bizonyítsuk be, hogy az

α_{1} β_{1} γ_{1}

háromszög az

A B C

háromszöghöz hasonló.
Rajzoljunk az

A, A_{1}, β_{1}, γ_{1}

, a

B, B_{1}, α_{1}, γ_{1}

és

C, C_{1}, α_{1}, β_{1}

pontokon keresztül köröket, melyeket rendre

a

-val,

b

-vel és

c

-vel jelölünk. Az

a

és

b

körök egymást az

O'

és

γ_{1}

pontokban metszik.

Minthogy

a

és

b

körök sugarai egyenlők (

A A_{1} γ_{1}

és

B B_{1} γ_{1}

húrháromszögek összeillők lévén) és az

A B

A_{1} B_{1}

egyenesek e két kör

γ_{1}

metszéspontján mennek át, azért a segédtétel értelmében

O' A = O' B = O' A_{1} = O' B_{1}

, a miből következik, hogy

O'

pont összeesik

O

-val. Hasonlóképp megmutathatjuk, hogy a

b

és

c

körök is az

O

ponton mennek keresztül, hogy tehát

O

a három körnek közös metszéspontja. Ennek alapján

\begin{matrix} β_{1} γ_{1} O ∢ = β_{1} A O ∢ = 90^{\circ} - B \end{matrix}

és

\begin{matrix} α_{1} γ_{1} O ∢ = α_{1} B O ∢ = 90^{\circ} - A; \end{matrix}

így tehát

\begin{matrix} β_{1} γ_{1} O ∢ + α_{1} γ_{1} O ∢ = β_{1} γ_{1} α_{1} ∢ = 180^{\circ} - (A + B) = C \end{matrix}

Épp így mutathatjuk meg, hogy

γ_{1} α_{1} β_{1} ∢ = A

és

α_{1} β_{1} γ_{1} ∢ = B

. Látjuk tehát, hogy

α_{1} β_{1} γ_{1} ▵ \sim A B C ▵ .

Mutassuk meg, hogy

O

α_{1} β_{1} γ_{1}

háromszög magasságpontja.
Hosszabbítsuk meg az

α_{1} O, β_{1} O

és

γ_{1} O

egyeneseket, míg a háromszög oldalait

α_{1}', β_{1}'

és

γ_{1}'

pontokban metszik. Ekkor a

β_{1} γ_{1} γ_{1}'

és

β_{1} α_{1} α_{1}'

háromszögekben

\begin{matrix} γ_{1} β_{1} γ_{1}' ∢ + β_{1} γ_{1} γ_{1}' ∢ = B + (90^{\circ} - B) = 90^{\circ} \end{matrix}

és

\begin{matrix} α_{1} β_{1} α_{1}' ∢ + β_{1} α_{1} α_{1}' ∢ = B + (90^{\circ} - B) = 90^{\circ}; \end{matrix}

azaz a

γ_{1} γ_{1}'

és

α_{1} α_{1}'

egyenesek magasságai a háromszögnek, miből következik, hogy a közös metszéspontjukon átmenő

β_{1} β_{1}'

egyenes is magassága a háromszögnek s így

O

α_{1} β_{1} γ_{1}'

háromszög magasságpontja.
Ha az

α_{1} β_{1} γ

háromszög köré írt kört

k

-val jelöljük, a

k, a, b

és

c

egyenlő sugarú körök, mert pl.

a

és

k

köröknek közös húrja van s e húron mindkét körben egyenlő kerületi szögek feküsznek. Minthogy hasonló háromszögek közül ama háromszög kisebb, melynek körülírt köre kisebb, azért az

α_{1} β_{1} γ_{1}

háromszög akkor éri el minimumát az

A B C

és

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszögek kölcsönös fekvésének változásánál, ha a

k, a, b, c

körök a legkisebbek. Minthogy az

a, b, c

körök az

A O = B O = C O

egyeneseket mint húrokat az

A B C

és

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszögek bármily kölcsönös fekvése mellett tartalmazzák, azért e körök akkor lesznek legkisebbek, ha e húrok az

a, b, c

körök átmérői. Ekkor azonban az

a, b, c

körök érintik az adott

O

középpontú kört s minthogy

A

és

A_{1}, B

és

B_{1}, C

és

C_{1}

pontok egybe esnek. Tehát az

α_{1} β_{1} γ_{1}

háromszög akkor éri el minimumát, ha az

A B C

és

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszögek egybeesnek. Mint előbb láttuk, ugyanekkor éri el az

α β γ

háromszög a maximumát.

(Manheim Emil, műegyetemi hallgató, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Prohászka János, műegyetemi h. Prágában; Freibauer E., Kohn B., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Spitzer Ö., Sasvári G., Weisz J.