Kezdőlap


Feladat:	663. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Czank K. , Filkorn J. , Freibauer E. , Kohn B. , Krausz B. , Krisztián György , Lukhaub Gy. , Sasvári G. , Spiczer Ö. , Weisz József
Füzet:	1899/október, 38 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Simson-egyenes, Húrnégyszögek, Beírt háromszög, Paralelogrammák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/február: 663. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$(1)$ $A B A_{1} B_{1}$ húrnégyszög $(A B_{1} B ∠ = A A_{1} B ∠ = 90^{\circ})$ , ennélfogva az $A_{1}$ pont az $A B B_{1}$ háromszög köré írható kör kerületén fekszik. Így tehát az $A_{1}$ pontból az $A B B_{1}$ háromszög oldalaira bocsátott merőlegesek talppontjai $D, F$ és $E$ egyenesen, az $A_{1}$ ponthoz tartozó Simson-féle egyenesen (K.M.L.VI.117.) feküsznek.

A C_{1} A_{1} C

is húrnégyszög, tehát

A_{1}

A C_{1} C

háromszög köré írható kör kerületén fekszik. Ennélfogva az

A_{1}

pontból az

A C_{1} C

háromszög oldalaira bocsátott merőlegesek talppontjai

D, G

és

E

is egy egyenesen, az

A_{1}

ponthoz tartozó Simson-féle egyenesen feküsznek. Miután pedig a két egyenesnek két pontja

D

és

E

közös, azért a kettő egybeesik s így

D, F, G

és

E

pontok csakugyan egy egyenesen feküsznek.

(Weisz József.)

(2)

A_{1} C_{1}

és

A_{1} B_{1}

D E

egyenest

K

és

H

pontokban metszik.

A_{1} G C_{1} D

és

A_{1} E B_{1} F

derékszögű egyenközények, ennélfogva

\begin{matrix} D K = \frac{A_{1} C_{1}}{2} és E H = \frac{A_{1} B_{1}}{2} . \end{matrix}

(1)

Minthogy továbbá

\begin{matrix} A_{1} K = \frac{A_{1} C_{1}}{2} és A_{1} H = \frac{A_{1} B_{1}}{2}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} H K = \frac{C_{1} B_{1}}{2} \end{matrix}

(2)

(1)-et és (2)-t összeadva

\begin{matrix} D K + K H + H E = D E = \frac{A_{1} C_{1} + C_{1} B_{1} + B_{1} A_{1}}{2} . \end{matrix}

(Krisztián György.)

Jegyzet. E feladat lényegileg megegyezik a 659. feladattal, mert az

A B C

háromszög magasságai a talpponti háromszög szögfelezői.

A feladatot még megoldották: Czank K., Filkorn J., Freibauer E., Kohn B., Krausz B., Lukhaub Gy., Sasvári G., Spiczer Ö.