Kezdőlap


Feladat:	662. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Filkorn J. , Freibauer E. , Kohn B. , Krausz B. , Krisztián György , Lukhaub Gy. , Rozlosnik P. , Sasvári G. , Weisz J.
Füzet:	1899/június, 185 - 186. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szögfelező egyenes, Pont körüli forgatás, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/február: 662. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1) Emeljünk $M$ pontban $M C$ -re merőlegest, mely $B C$ -t $D$ -ben metszi s rajzoljunk $M$ -ből $A C$ -vel párhuzamost, mely $C B$ -t $O$ -ban metszi. $M$ pont mértani helye az $O$ -ból $O C$ sugárral rajzolt kör.

Bizonyítás. A háromszög területét kétféleképpen kifejezve:

\begin{matrix} f sin \frac{γ}{2} \cdot (a + b) = a b sin γ, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} f^{2} = \frac{4 a^{2} b^{2}}{{(a + b)}^{2}} cos^{2} \frac{γ}{2} \end{matrix}

(1)

C D M

háromszögből:

\begin{matrix} {\bar{D M}}^{2} = f^{2} \cdot {tg}^{2} \frac{γ}{2} = \frac{4 a^{2} b^{2}}{{(a + b)}^{2}} sin^{2} \frac{γ}{2} \end{matrix}

(2)

(1) és (2) alapján

\begin{matrix} {\bar{C D}}^{2} = \frac{4 a^{2} b^{2}}{{(a + b)}^{2}} (sin^{2} \frac{γ}{2} + cos^{2} \frac{γ}{2}) \end{matrix}

s így

\begin{matrix} O C = \frac{C D}{2} = \frac{a b}{a + b} = const. \end{matrix}

(3)

Hasonlóképpen kapjuk, hogy

N

pont mértani helye oly kör, melynek sugara

\frac{a b}{a - b}

s melynek középpontja

A B

-nek meghosszabbításában van, ott, a hol az

N

-ből

A C

-vel párhuzamosan rajzolt egyenes

C B

-t metszi.

(2) Hogy a háromszöget megszerkeszthessük, (3) szerint megrajzoljuk

C D

-t;

C D

-ből és

M C = f

-ből derékszögű háromszöget szerkesztünk és

C

-től kezdve lemérjük

a

-t,

B

-ig. Ha még megrajzoljuk

B M

-et és a

D C M

szöget

M C

-nek másik oldalára is lemásoljuk, akkor a keresett háromszöget megszerkesztettük.

(Krisztián György.)

A feladatot még megoldották: Filkorn J., Freibauer E., Kohn B., Krausz B., Lukhaub Gy., Rozlosnik P., Sasvári G., Weisz J.