Kezdőlap


Feladat:	661. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Filkorn J. , Freibauer E. , Kerekes T. , Kiss A. , Kohn B. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Obláth R. , Perl Gy. , Sasvári G. , Spitzer Ö. , Weisz József
Füzet:	1899/szeptember, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek hasonlósága, Algebrai átalakítások, Beírt alakzatok, Négyzetek, Háromszögek hasonlósága, Négyszögek szerkesztése, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/február: 661. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Tekintsük a feladatot megoldottnak s rajzoljuk meg az $A G$ és $A H$ egyeneseket, melyek a $B$ és $C$ pontokban a $B C$ oldalra emelt merőlegeseket $B_{1}$ és $C_{1}$ pontokban metszik.

Minthogy

A E G ▵ \sim A B B_{1} ▵

, azért

\begin{matrix} A E : E G = A B : B B_{1} \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} A E : E F = A B : B C \end{matrix}

s minthogy

E G = E F

, azért a két aránypárban

3

tag egyenlő lévén,

B B_{1} = B C

.
Ennélfogva a szerkesztés a következő: A háromszög egyik ‐ pl.

B C

‐ oldala fölé négyzetet emelünk s e négyzetnek

B_{1}

és

C_{1}

csúcsait összekötjük

A

-val. Az

A B_{1}

és

A C_{1} G

és

H

pontokban metszik a háromszög

B C

oldalát, mely pontokban merőlegeseket emelve, kapjuk

E

-t és

F

-et.

2^{\circ}

. Jelöljük a háromszög oldalait

a, b, c

-vel, a megfelelő magasságokat

m_{1}, m_{2}, m_{3}

-mal, a háromszög oldalain nyugvó négyzetek oldalait

x, y, z

-vel. Minthogy

\begin{matrix} \frac{E G}{B B_{1}} = \frac{A G}{A B_{1}} = \frac{A D}{A D_{1}}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{x}{a} = \frac{m_{1}}{m_{1} + a} \end{matrix}

azért

\begin{matrix} x = \frac{a m_{1}}{m_{1} + a} \end{matrix}

épp így

\begin{matrix} y = \frac{b m_{2}}{m_{2} + b}, z = \frac{c m_{3}}{m_{3} + c} . \end{matrix}

A három törtben a számlálók egyenlők, mert mindegyik a háromszög kettős területe. Így tehát ama tört nagyobb, melyben a nevező kisebb. Legyen

a > b > c

.
Minthogy

\begin{matrix} a m_{1} = b m_{2} \end{matrix}

azért

\begin{matrix} \frac{a}{m_{2}} = \frac{b}{m_{1}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{a - m_{2}}{a} = \frac{b - m_{1}}{b} . \end{matrix}

De ha

a > b

, akkor

a - m_{2} > b - m_{1} és így

\begin{matrix} a + m_{1} > b + m_{2} \end{matrix}

s ennélfogva

x < y

. Hasonlóképpen kapjuk, hogy

y < z

. Látjuk tehát, hogy a háromszög legkisebb oldalán nyugvó négyzet területe a legnagyobb.

(Weisz József, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Filkorn J., Freibauer E., Kerekes T., Kiss A., Kohn B., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Obláth R., Perl Gy., Sasvári G., Spitzer Ö.