Kezdőlap


Feladat:	659. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Czank K. , Filkorn J. , Freibauer E. , Glass M. , Kerekes T. , Kohn B. , Krausz Béla , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Neumann J. , Perl Gy. , Sasvári G. , Spiczer Ö. , Weisz J.
Füzet:	1899/szeptember, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Szögfelező egyenes, Vetítések, Téglalapok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/február: 659. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A$ csúcsnak a $B$ és $C$ -hez tartozó belső és külső szögfelezőkre való vetületét: $B_{2}, B_{1}, C_{2}, C_{1}$ -gyel.

Messék továbbá a

B_{2} B_{1}

és

C_{2} C_{1}

egyenesek az

A B

és

A C

oldalakat

M

, illetőleg

N

pontokban. Minthogy az ugyanahhoz a csúcshoz tartozó szögfelezők egymásra merőlegesek, azért az

A B B_{2} B_{1}

és

A C C_{2} C_{1}

négyszögek téglalapok s így

M

és

N

‐ az átlók metszési pontjai ‐ felezik

A B

-t, illetőleg

A C

-t. Minthogy továbbá

B M B_{1} ∢ = 2 R - 2 (R - \frac{β}{2}) = β

és

C N C_{1} ∢ = 2 R - 2 (R - \frac{γ}{2}) = γ

, azért

B_{2} B_{1} ∥ B C ∥ C_{2} C_{1}

. Ennélfogva a

B_{2} B_{1}

és

C_{2} C_{1}

egyenesek egy egyenesbe esnek.
Jegyzet.

B_{1} B M ∢ = B B_{1} M ∢

és

C_{1} C N ∢ = C C_{1} N ∢

, azért

B_{1} M + M N + N C_{1} = B M + M N + N C = \frac{A + B + C}{2} .

(Krausz Béla, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Czank K., Filkorn J., Freibauer E., Glass M., Kerekes T., Kohn B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Neumann J., Perl Gy., Sasvári G., Spitzer Ö., Weisz J.