Kezdőlap


Feladat:	654. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Filkorn J. , Freibauer E. , Herzog A. , Kohn B. , Kornis Ö. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Neumann J. , Obláth R. , Porkoláb J. , Sasvári Géza , Weisz J.
Füzet:	1899/június, 183 - 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek hasonlósága, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Négyszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Téglalapok, Szinusztétel alkalmazása, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/január: 654. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett derékszögű négyszög alapja $A B = x$ , magassága $A C = y$ ; a körczikk húrja $M N$ , az erre merőleges sugár $O E$ ; továbbá $A O E ∢ = ω$ és $M O E ∢ = α$ .

Ekkor

\begin{matrix} x = 2 r sin ω, \end{matrix}

O A C

háromszögből pedig

\begin{matrix} y : r = sin (α - ω) : sin α \end{matrix}

s így

\begin{matrix} y = \frac{r sin (α - ω)}{sin α}, \end{matrix}

tehát a derékszögű négyszög területe:

\begin{matrix} T = \frac{2 r^{2} sin (α - ω) sin ω}{sin α} . \end{matrix}

Minthogy

\frac{2 r^{2}}{sin α}

állandó kifejezés, azért

T

akkor maximum, a mikor

p = sin (α - ω) sin ω

a lehető legnagyobb.
De

\begin{matrix} p = \frac{1}{2} cos [(α - ω) - ω] - \frac{1}{2} cos [(α - ω) + ω] \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{2} [cos (α - 2 ω) - cos α] . \end{matrix}

E kifejezés pedig akkor maximum, ha

cos (α - 2 ω)

maximum, vagyis, ha

\begin{matrix} cos (α - 2 ω) = 1 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} ω = \frac{α}{2} . \end{matrix}

Tehát az

α

szöget felező egyenesnek a körczikk ívével való metszése adja a keresett négyszög egyik csúcsát.
Ha

\begin{matrix} 2 α = 120^{\circ}, akkor x = r, y = \frac{r}{\sqrt[]{3}} s így T = \frac{r^{2}}{3} \sqrt[]{3}; \end{matrix}

\begin{matrix} 2 α = 240^{\circ}, akkor x = r \sqrt[]{3}, y = r \end{matrix}

(Sasvári Géza.)

A feladatot még megoldották: Filkorn J., Freibauer E., Herzog A., Kohn B., Kornis Ö., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Neumann J., Obláth R., Prokoláb J., Weisz J.