Feladat: 651. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kornis Ö. ,  Krausz B. ,  Krisztián György ,  Lukhaub Gy. ,  Sasvári G. 
Füzet: 1899/december, 81 - 83. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Menelaosz-tétel, Húrnégyszögek, Szögfelező egyenes, Középponti és kerületi szögek, Négyszögek geometriája, Paralelogrammák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1899/január: 651. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyításunkban a következő segédtételeket alkalmazzuk:

 
1. Az AB és DC húrok által bezárt α szög ama kerületi szögek összegével egyenlő, melyek az AC és BD ívekhez tartoznak: α=β+γ.
 

 

Ennélfogva az α szög mértéke: 12(AC⌢+BD⌢).
Az AB és AC szelők által bezárt δ szög ama kerületi szögek különbségével egyenlő, melyek a BC és DE ívekhez tartoznak: δ=ε-φ.
 

 

Ennélfogva a δ szög mértéke 12(BC⌢-DE⌢).
 
2.Minden húrnégyszögben a szemben fekvő oldalak metszéspontjaiból rajzolt szögfelezők egymásra merőlegesek.
Bizonyítás. Az ABCD húrnégyszög szemközt fekvő oldalainak H és K metszéspontjaiban rajzolt KN és HP szögfelezők egymást O-ban metszik.
 

 

Minthogy HP felezi az AHD szöget, azért
AP⌢-BM⌢=DP⌢-CM⌢(1)
hasonlóképpen
AN⌢-DQ⌢=BN⌢-CQ⌢(2)
E két egyenletet összeadva:
PN⌢-DQ⌢-BM⌢=BN⌢+DP⌢-MQ⌢
vagy
PN⌢+MQ⌢=PQ⌢+MN⌢
A PON és MON szögek tehát egyenlők, mert mindekettőnek mértéke ugyanaz s így HO¯ merőleges KO¯-ra.
 
3.Minden teljes négyszögben az átlók felező pontjai egy egyenesen feküsznek.
 
Bizonyítás. Legyenek az átlók felezőpontjai M,N és P; a kérdéses szögfelezők egymást 0-ban metszik. Hosszabbítsuk meg EM¯-et EO¯-t és EN¯-et saját hosszúságaikkal M',O' és N' pontokig.
 

 

AM'¯ és BN'¯ egymást G-ben metszik. FO¯BC¯-t H-ban, AD-t K-ban metszi. O'H¯AB¯-t Q-ban, AG¯-t pedig R-ben metszi. Rajzoljunk Q-ból BE¯-vel párhzuzamost, mely HK¯-t S-ben AE¯-t pedig Z-ben metszi.
Az FD¯ által metszett ABE háromszögre a Menelaos-féle tételt (K.M.L.IV.148.l.) alkalmazva:
CB⋅DE⋅FACE⋅DA⋅FB=1.(1)

De BCM'G,BEDN',CEAM' és ADN'G négyszögek egyenközények s így
BC=M'G,DE=N'B,
CE=M'AésDA=N'G
mit (1)-be téve:
M'G⋅N'B⋅FAM'A⋅N'G⋅FB=1.(2)

Tehát M',N' és F egy egyenesen feküsznek, következésképpen M,N és P pontok is egy egyenesen feküsznek.
Eme tételekkel feladatunk a következőképpen oldható meg:
Alkalmazzuk a Menelaos-féle tételt az FK egyenes által metszett AZQ háromszögre:
FA⋅KZ⋅SQFQ⋅KA⋅SZ=1.(3)
De KZQO',SQRM',AKO'R és ZSM'A négyszögek egyenközények s így
KZ=O'Q,SQ=M'R,KA=O'R  és  SZ=M'A

Eme egyenlőségeket (3)-ba téve:
FA⋅O'Q⋅M'RFQ⋅O'R⋅M'A=1.(4)

Tehát M'O' és F pontok s így egyúttal M,O és P pontok is egy egyenesen feküsznek. Minthogy pedig az MP és OP egyeneseknek két pontja összeesik, azért az M,O,N és P pontok valóban egy egyenesen feküsznek.
 
(Krisztián György, Pécs.)

 
A feladatot még megoldották: Kornis Ö., Krausz B., Lukhaub Gy., Sasvári G.