Kezdőlap


Feladat:	648. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Filkorn J. , Kornis Ödön , Krasz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Neumann J. , Sasvári G. , Weisz J.
Füzet:	1899/október, 37 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Súlypont, Beírt háromszög, Transzverzálisok, Párhuzamos szelők tétele, Paralelogrammák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/január: 648. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rajzoljunk $C_{1}$ -ből $B C$ -vel párhuzamost, mely $A C$ -t $B_{2}$ -ben metszi. Minthogy

\begin{matrix} \frac{B_{1} C}{B_{1} A} = \frac{C_{1} A}{C_{1} B} \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{C_{1} A}{C_{1} B} = \frac{B_{2} A}{B_{2} C}, \end{matrix}

(1)

azért

\begin{matrix} \frac{B_{1} C}{B_{1} A} = \frac{B_{2} A}{B_{2} C}, \end{matrix}

miből következik, hogy

B_{2} A = B_{1} C

. Ha a

B

csúcsból rajzolható középvonal

A C

-t

B_{3}

-ban metszi, akkor

B_{2} B_{3} = B_{1} B_{3}

s így

B B_{3}

középvonala egyúttal a

B B_{1} B_{2}

háromszögnek is.

Minthogy továbbá a feltétel alapján

\begin{matrix} \frac{A_{1} B}{A_{1} C} = \frac{C_{1} A}{C_{1} B}, \end{matrix}

azért (1)-et tekintetbe véve

\begin{matrix} \frac{A_{1} B}{A_{1} C} = \frac{B_{2} A}{B_{2} C} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} B_{2} A_{1} ∥ A B . \end{matrix}

Ennélfogva

B A_{1} B_{2} C_{1}

egyenközény, melyben a

C_{1} A_{1}

és

B B_{2}

átlók egymást

D

-ben felezik, miért is

D B_{1}

középvonala az

A_{1} B_{1} C_{1}

és

B B_{1} B_{2}

háromszögnek. Látjuk tehát, hogy

B B_{3}

és

D B_{1}

B B_{1} B_{2}

háromszögnek középvonalai, tehát

S

metszéspontjuk e háromszögnek tömegközéppontja s így

\begin{matrix} S B : S B_{3} = S B_{1} : S D = 2 : 1, \end{matrix}

miért is

S

valóban tömegközéppontja úgy az

A B C

, mint az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszögnek.

(Kornis Ödön, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Filkorn J., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Neumann J., Sasvári G., Weisz J.