Kezdőlap


Feladat:	646. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barabás S. , Breuer M. , Czank K. , Filkorn J. , Freibauer E. , Kohn B. , Kornis Ödön , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Lupta Gy. , Obláth R. , Perl Gy. , Porkoláb J. , Sasvári G. , Weisz J.
Füzet:	1899/június, 180 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Egyéb sokszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Mértani sorozat, Téglalapok, Négyzetek, Aranymetszés, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1899/január: 646. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Legyen a keresett derékszögű négyszög $A B C D$ , melyben $A B < A D$ ; ha $A D$ középpontját $M$ -mel, $B C$ -ét $N$ -nel jelöljük, akkor

\begin{matrix} \frac{A B}{A D} = \frac{A M}{A B} = \frac{A D}{2 A B} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} {\bar{A D}}^{2} = 2 {\bar{A B}}^{2}, vagyis A D = A B \sqrt[]{2} . \end{matrix}

A keresett derékszögű négyszög nagyobbik oldala ennélfogva ama derékszögű háromszög átfogója, melynek mindegyik befogója

A B

, a négyszög kisebb oldala.

2^{\circ}

. a) Legyen ismét

A B C D

a készítendő négyszög, melyben

A B < A D

. E négyszögből

M N

egyenes elvágja az

A B N M

négyzetet; a feladat értelmében:

\begin{matrix} \frac{A B}{A D} = \frac{A D - A B}{A B} s így {\bar{A B}}^{2} = A D (A C - A B) . \end{matrix}

Következőleg a keresett négyszög kisebbik oldala

A B

, az aranymetszés szerint osztott nagyobbik oldalnak,

A D

-nek nagyobb szelete.

b) Minthogy

A B C D \sim M N C D

, azért

\begin{matrix} \frac{A B C D}{M N C D} = \frac{{\bar{A D}}^{2}}{{\bar{A B}}^{2}} s így M N C D = A B C D \cdot \frac{{\bar{A B}}^{2}}{{\bar{A D}}^{2}} \end{matrix}

(1)

M N C D

négyszögből a feladatban jelzett módon ismét elvágunk egy négyzetet, akkor a visszamaradt téglalap területét

t

-vel jelölve, kapjuk, hogy:

\begin{matrix} \frac{M N C D}{t} = \frac{{\bar{A D}}^{2}}{{\bar{A B}}^{2}}, \end{matrix}

miből (1)-et tekintetbe véve:

\begin{matrix} t = A B C D \cdot \frac{{\bar{A B}}^{4}}{{\bar{A D}}^{4}}; \end{matrix}

látjuk, hogy e téglalalpok területei fogyó mértani haladványt alkotnak, melynek hányadosa

\frac{{\bar{A B}}^{2}}{{\bar{A D}}^{2}}

; így tehát a területek összege:

\begin{matrix} T = \frac{A B C D}{1 - \frac{{\bar{A B}}^{2}}{{\bar{A D}}^{2}}} = {\bar{A D}}^{2} \cdot \frac{A B \cdot A D}{{\bar{A D}}^{2} - {\bar{A B}}^{2}} = {\bar{A D}}^{2} . \end{matrix}

Vagyis a derékszögű négyszögek területeinek összege egyenlő a nagyobbik oldal fölé rajzolt négyzet területével.

(Kornis Ödön.)

A feladatot még megoldották: Barabás S., Breuer M., Czank K., Filkorn J., Freibauer E., Kohn B., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Lupta Gy., Obláth R., Perl Gy., Porkoláb J., Sasvári G., Weisz J.